Sejam S1=sumn=0^infty (n!)^24^n^2 e S2=sumn=0^infty 5^n^2(n!)^2. Assinale a alternativa correta:
A Nenhuma das outras alternativas é verdadeira. S1 converge e S2 diverge.
C S1 e S2 convergem.
D S1 diverge e S2 converge.
E S1 e S2 divergem.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos apresenta duas séries infinitas:
  • $ S_{1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!){2}}{4{n^{2}}} $
  • $ S_{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5{n{2}}}{(n!)^{2}} $
Nosso objetivo é determinar se cada uma dessas séries converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar alguns testes de convergência de séries, principalmente o Teste da Razão e o Teste da Raiz, que são ferramentas úteis para analisar o comportamento de séries com termos envolvendo fatoriais e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série $ S_{1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!){2}}{4{n^{2}}} $.
Para determinar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a comparar o termo geral $ a_{n} $ com o próximo termo $ a_{n+1} $ para ver se a série tende a zero.
Calculamos:
S1 = sumn=0^infty (n!)^24^n^2
Percebemos que o denominador cresce exponencialmente, enquanto o numerador cresce apenas quadraticamente. Portanto, o limite tende a zero, o que indica que a série $ S_{1} $ converge pelo Teste da Razão.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série $ S_{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5{n{2}}}{(n!)^{2}} $.
Aqui, novamente, vamos aplicar o Teste da Razão:
S2 = sumn=0^infty 5^n^2(n!)^2
Nesse caso, o numerador $ 5^{2n+1} $ cresce exponencialmente, enquanto o denominador $ (n+1)^{2} $ cresce apenas quadraticamente. Portanto, o limite tende ao infinito, o que indica que a série $ S_{2} $ diverge pelo Teste da Razão.

Resposta

A alternativa correta é a A: Nenhuma das outras alternativas é verdadeira. $ S_{1} $ converge e $ S_{2} $ diverge.

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