Sejam
e
. Assinale a alternativa correta:
A Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
converge e
diverge.
C
e
convergem.
D
diverge e
converge.
E
e
divergem.
A Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
C
D
E
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício nos apresenta duas séries infinitas:
- $ S_{1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!){2}}{4{n^{2}}} $
- $ S_{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5{n{2}}}{(n!)^{2}} $
Nosso objetivo é determinar se cada uma dessas séries converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar alguns testes de convergência de séries, principalmente o Teste da Razão e o Teste da Raiz, que são ferramentas úteis para analisar o comportamento de séries com termos envolvendo fatoriais e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série $ S_{1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!){2}}{4{n^{2}}} $.
Para determinar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a comparar o termo geral $ a_{n} $ com o próximo termo $ a_{n+1} $ para ver se a série tende a zero.
Calculamos:
Percebemos que o denominador cresce exponencialmente, enquanto o numerador cresce apenas quadraticamente. Portanto, o limite tende a zero, o que indica que a série $ S_{1} $ converge pelo Teste da Razão.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série $ S_{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5{n{2}}}{(n!)^{2}} $.
Aqui, novamente, vamos aplicar o Teste da Razão:
Nesse caso, o numerador $ 5^{2n+1} $ cresce exponencialmente, enquanto o denominador $ (n+1)^{2} $ cresce apenas quadraticamente. Portanto, o limite tende ao infinito, o que indica que a série $ S_{2} $ diverge pelo Teste da Razão.
Resposta
A alternativa correta é a A: Nenhuma das outras alternativas é verdadeira. $ S_{1} $ converge e $ S_{2} $ diverge.