Sejam S1=sumn=0^infty (-1)^nraizn^2+1 e S2=sumn=0^infty (-1)^nraizn^3+1. Assinale a alternativa correta:
A S1 absolutamente e S2 condicionalmente convergentes.
  • S1 condicionalmente e S2 absolutamente convergentes.
    C Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
    D S1 e S2 são absolutamente convergentes.
    E S1 e S2 são condicionalmente convergentes.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência de duas séries alternadas:
  • S1=sumn=0^infty(-1)^n/raizn^2+1
  • S2=sumn=0^infty(-1)^n/raizn^3+1
    Vamos usar o critério de Leibniz para séries alternadas (que exige termos positivos decrescentes tendendo a zero) e analisar a convergência absoluta por comparação com p-séries.

Passo 2

Para S1, definimos an=1/raizn^2+1. Observamos que:
an>0, an+1 para n>=0, e
limntoinftyan=0.
Logo, por Leibniz, S1 converge. Para a convergência absoluta consideramos
sumn=1^infty1raizn^2+1, que se comporta como sum1/n (p-série com p=1) e, portanto, diverge. Assim, S1 é condicionalmente convergente.

Passo 3

Para S2, definimos bn=1/raizn^3+1. Verificamos que:
bn>0, bn+1 para n>=0, e
limntoinftybn=0.
Assim, por Leibniz, S2 converge. Na convergência absoluta analisamos
sumn=1^infty1raizn^3+1, que se compara a sum1/n^3/2 (p-série com p=3/2>1) e, portanto, converge. Logo, S2 é absolutamente convergente.

Resposta

S_{1} é condicionalmente convergente e S_{2} é absolutamente convergente (alternativa B).

Exercícios relacionados