Sejam
e
. Assinale a alternativa correta:
A
absolutamente e
condicionalmente convergentes.
-
condicionalmente e
absolutamente convergentes.
C Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
D
e
são absolutamente convergentes.
E
e
são condicionalmente convergentes.
A
C Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
D
E
Passo 1
O enunciado pede para classificar a convergência de duas séries alternadas:
-
-
Vamos usar o critério de Leibniz para séries alternadas (que exige termos positivos decrescentes tendendo a zero) e analisar a convergência absoluta por comparação com p-séries.
Passo 2
Para
, definimos
. Observamos que:
,
para
, e
.
Logo, por Leibniz, converge. Para a convergência absoluta consideramos
, que se comporta como
(p-série com
) e, portanto, diverge. Assim,
é condicionalmente convergente.
Logo, por Leibniz,
Passo 3
Para
, definimos
. Verificamos que:
,
para
, e
.
Assim, por Leibniz, converge. Na convergência absoluta analisamos
, que se compara a
(p-série com
) e, portanto, converge. Logo,
é absolutamente convergente.
Assim, por Leibniz,
Resposta
S_{1} é condicionalmente convergente e S_{2} é absolutamente convergente (alternativa B).