Seja ( an) uma sequência numérica satisfazendo
|an-((-1)^nn+n^2n^2+1)|
para todo n>1. Escolha uma das seguintes alternativas para sequência (an).
A (an) converge para 0.
(an) converge para 1.
C (an) diverge.
D Não se pode afirmar nada sobre a convergência ou divergência da sequência (an).
E(an) diverge para +infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma sequência numérica $ (a_n) $ que está bem próxima de outra expressão envolvendo $ n $, e a gente precisa descobrir para onde $ a_n $ está indo quando $ n $ cresce bastante. O conteúdo aqui envolve convergência de sequências, que basicamente nos ajuda a entender se uma sequência está se aproximando de um certo valor à medida que $ n $ aumenta. Para resolver isso, vamos analisar a expressão que está dentro do valor absoluto e também o que está acontecendo com a função logarítmica do lado direito da desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a desigualdade que nos foi dada:
| an - ( (-1)^nn + n^2n^2 + 1 ) | < ln ( n^3 - 1n^3 + 2n - 1 )
Isso significa que $ a_n $ está muito próximo de $ \frac{(-1)^n}{n} + \frac{n2}{n2 + 1} $, com uma margem de erro menor que o logaritmo da fração dada.

Passo 3

Vamos analisar cada parte separadamente. Primeiro, olhemos para $ \frac{(-1)^n}{n} $. Conforme $ n $ aumenta, $ \frac{1}{n} $ tende a 0, e $ (-1)^n $ oscila entre -1 e 1. Assim, $ \frac{(-1)^n}{n} $ também tende a 0.

Passo 4

Agora, vamos para $ \frac{n2}{n2 + 1} $. Dividindo numerador e denominador por $ n^2 $, temos:
n^2n^2 + 1
Quando $ n $ tende ao infinito, $ \frac{1}{n^2} $ tende a 0, então $ \frac{n2}{n2 + 1} $ tende a 1.

Passo 5

Juntando as duas partes, temos que:
(-1)^nn + n^2n^2 + 1 to 0 + 1 = 1 quando n to infty
Então, $ a_n $ está muito próximo de 1 para valores grandes de $ n $.

Passo 6

Agora, vamos verificar a parte do logaritmo:
ln ( n^3 - 1n^3 + 2n - 1 )
Para simplificar, dividimos numerador e denominador por $ n^3 $:
n^3
Quando $ n $ tende ao infinito, os termos $ \frac{1}{n^3} $ e $ \frac{2}{n^2} $ tendem a 0, então a expressão dentro do logaritmo tende a 1. E sabemos que $ \ln(1) = 0 $. Isso significa que a margem de erro está se aproximando de 0.

Passo 7

Resumindo, sabemos que $ a_n $ está se aproximando de 1 e a margem de erro também está indo para 0. Portanto, $ a_n $ deve convergir para 1.

Resposta

A sequência $ (a_n) $ converge para 1.

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