Considere as sequências (an)n in N O (bn)n in N dadas por
an=1+5 n^32 n+7, bn=(-2)^npi^n+1,
Qual das alternativas é verdadeira?
(a) Ambas são convergentes.
(b) A primeira é convergente e a segunda é divergente.
© A primeira é divergente e a segunda é con-
vergente.
d Nenhuma delas, em módulo, converge.
(e) Ambas são divergentes.

Passo 1

Temos as sequências an = 1+5n^32n+7 e bn = (-2)^npi^n+1. O conteúdo é limites de sequências: para resolver, vamos calcular limntoinftyan e limntoinftybn.

Passo 2

Para an, note que o termo dominante no numerador é 5n^3 e no denominador é 2n. Dividindo numerador e denominador por n (ou analisando o grau dos polinômios), obtemos an sim 5n^32n = 52n^2. Como n^2 to infty, concluímos que limntoinftyan = +infty. Logo, an diverge.

Passo 3

Para bn, vemos que é uma sequência geométrica:
bn = (-2)^npi^n+1 = 1pi(-2pi)^n

Passo 4

A razão é r = -2pi e como |r| = 2pi < 1, temos limntoinftyr^n = 0. Logo, limntoinftybn = 0 e bn converge.

Passo 5

Com an divergente e bn convergente, concluímos que a alternativa correta é a ©, ou seja, a primeira é divergente e a segunda é convergente.

Resposta

© A primeira é divergente e a segunda é convergente.

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