Encontre a transformada de Laplace da seguinte função.
e^-62 u2(x)(e^-x+2-2 e^-2 x+4+e^-3 x+6)+e^-2 x

Passo 1

Estamos buscando a transformada de Laplace da função
f(x)=e^-62,u2(x)l(e^-x+2-2e^-2x+4+e^-3x+6r)+e^-2x
O conteúdo envolvido é transformada de Laplace de exponenciais e a propriedade de deslocamento pelo degrau unitário, então vamos usar tanto L{e^{-ax}} quanto L{u_{a}(x)h(x-a)}.

Passo 2

Primeiro, separe a função em duas partes:
f1(x)=e^-2x,
f2(x)=e^-62,u2(x)l(e^-x+2-2e^-2x+4+e^-3x+6r)

Passo 3

Calcule a transformada de Laplace de f1(x). Usando Le^-ax=1/(s+a), temos

Passo 4

Reescreva o interior de f2(x) em função de x-2, pois u2(x) faz x>=2. Note que:
e^-x+2=e^-(x-2), e^-2x+4=e^-2(x-2), e^-3x+6=e^-3(x-2)
Então
f2(x)=e^-62,u2(x)l(e^-(x-2)-2e^-2(x-2)+e^-3(x-2)r)
é do tipo ua(x)h(x-a) com a=2 e h(t)=e^-62[e^-t-2e^-2t+e^-3t].

Passo 5

Aplique a propriedade de deslocamento no tempo:
Lu2(x)h(x-2)(s)=e^-2sH(s),
onde
H(s)=Lh(t)(s)=e^-62l(1s+1-2s+2+1s+3r)
Portanto
Lf2(s)=e^-2scdote^-62l(1s+1-2s+2+1s+3r)

Passo 6

Some a contribuição de cada parte. A transformada total é
F(s)=1s+2+e^-62,e^-2sl(1s+1-2s+2+1s+3r)

Resposta

F(s)=1s+2+e^-62,e^-2sl(1s+1-2s+2+1s+3r)

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