Considere os seguintes símbolos
e
.
O que eles possuem em comum?
e
O que eles possuem em comum?
Passo 1
Beleza, o enunciado pergunta: “O que os símbolos
(soma) e
(integral) têm em comum?”
Conteúdo da matéria: conceitos de soma e integral em cálculo.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: conceitos de soma e integral em cálculo.
O que vamos precisar:
- Entender o que a notação
faz (soma de termos). - Entender o que a notação
faz (acumula infinitesimalmente). - Reconhecer a ideia teórica de “acumulação” e “passagem ao limite”.
Passo 2
Explicando a soma discreta,
:
- A gente escreve algo como
2. Ou seja,é só um jeito compacto de somar vários termos numerados por um índice (aqui, ).
3. Quandocresce muito ou vai até o infinito, essa soma pode envolver muitos (ou infinitos) termos e a gente passa a pensar em limite:
Passo 3
Explicando a integral,
:
- A integral definida é algo como
2. Geometricamente, ela acumula a “área” sob a curvade até .
3. Formalmente, a integral de Riemann é o limite de somas de retângulos cada vez mais finos:
onde e é um ponto em cada subintervalo.
Passo 4
Aí vem o que têm em comum:
- Ambos são operações de acumulação: um acumula termos isolados, o outro “infinitesimais” (pequenas parcelas de área).
- Em ambos o resultado é obtido por um processo de limite.
- Os dois são operadores lineares, ou seja, vale
4. Dá pra enxergar a soma como um caso discreto da integral (se você usar a medida de contagem em vez de medida de comprimento).
Resposta
Os símbolos
e
representam a mesma ideia fundamental de acumular, seja em pontos isolados (soma) ou em “fatias infinitesimais” (integral), ambos via limites e ambos obedecendo linearidade.