Lista de exercícios 7
Conservação do Momento Linear e Colisões
Num circo, um homem-bala (massa de
) é disparado por um canhão com a velocidade de
, sob um ângulo de
com a horizontal. Sua parceira (massa de
) está numa plataforma localizada no topo da trajetória. Ao passar pela plataforma, o homem-bala e a parceira se reúnem e vão cair numa rede de segurança, na mesma altura que o canhão, situada à distância horizontal
do ponto de partida. Calcular
.
Conservação do Momento Linear e Colisões
Num circo, um homem-bala (massa de
Passo 1
Vamos resumir o que a questão nos pede e identificar o que precisamos para resolver. Temos um homem-bala com massa de
sendo lançado por um canhão com velocidade de
em um ângulo de
com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, ele encontra sua parceira, que tem massa de
e está parada em uma plataforma. Após se unirem, eles caem juntos em uma rede de segurança na mesma altura do canhão, localizada a uma distância horizontal
do ponto de partida.
Para resolver esse problema, vamos precisar dos seguintes conteúdos:
- Movimento Projetil: para determinar o tempo que o homem-bala leva para chegar ao ponto mais alto.
- Conservação do Momento Linear: para analisar a colisão entre o homem-bala e sua parceira.
- Cinética de Colisões: para calcular a velocidade após a colisão.
- Equações do Movimento para Queda Livre: para encontrar a distância horizontal final
.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do homem-bala em componentes horizontal (
) e vertical (
).
A velocidade inicial
e o ângulo de lançamento
.
As componentes são:
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos determinar o tempo que o homem-bala leva para atingir o ponto mais alto da trajetória. No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero.
Usamos a equação da velocidade vertical:
Onde
e
é a aceleração da gravidade.
Resolvendo para
:
Passo 4
No ponto mais alto, o homem-bala e sua parceira se unem. Vamos usar a Conservação do Momento Linear para encontrar a velocidade conjunta após a colisão.
Antes da colisão:
- Massa do homem-bala:
- Massa da parceira:
- Velocidade do homem-bala na horizontal:
- A parceira está parada, então
Aplicando a conservação do momento linear na horizontal:
Onde
é a velocidade conjunta após a colisão.
Substituindo:
Passo 5
Após a colisão, o casal vai cair juntos para a mesma altura do canhão. Vamos encontrar o tempo total de voo após a colisão.
Como a altura inicial e final são iguais, o tempo de subida e descida será o dobro do tempo que leva para subir ao ponto mais alto. Porém, após a colisão, a velocidade vertical é zero, então eles apenas começam a cair. Portanto, o tempo de queda é determinado pela aceleração da gravidade.
Usamos a equação do movimento vertical:
Como a velocidade vertical inicial após a colisão é zero:
Isso implica que:
Mas precisamos saber a altura
. Para simplificar, já que a plataforma está no topo da trajetória, a altura máxima
foi alcançada pelo homem-bala antes da colisão.
Calculamos
usando:
Agora, calculamos o tempo de queda:
Passo 6
Finalmente, vamos determinar a distância horizontal
que o casal percorre após a colisão até atingir a rede de segurança.
Usamos a velocidade horizontal após a colisão
e o tempo de queda
:
Resposta
A distância horizontal
é aproximadamente
.