Lista de exercícios 7
Conservação do Momento Linear e Colisões
Num circo, um homem-bala (massa de 70,0 kg ) é disparado por um canhão com a velocidade de 24,0 m / s, sob um ângulo de 30,0^circ com a horizontal. Sua parceira (massa de 50,0 kg ) está numa plataforma localizada no topo da trajetória. Ao passar pela plataforma, o homem-bala e a parceira se reúnem e vão cair numa rede de segurança, na mesma altura que o canhão, situada à distância horizontal x do ponto de partida. Calcular x.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos pede e identificar o que precisamos para resolver. Temos um homem-bala com massa de 70,0,kg sendo lançado por um canhão com velocidade de 24,0,m/s em um ângulo de 30,0^circ com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, ele encontra sua parceira, que tem massa de 50,0,kg e está parada em uma plataforma. Após se unirem, eles caem juntos em uma rede de segurança na mesma altura do canhão, localizada a uma distância horizontal x do ponto de partida.
Para resolver esse problema, vamos precisar dos seguintes conteúdos:
  • Movimento Projetil: para determinar o tempo que o homem-bala leva para chegar ao ponto mais alto.
  • Conservação do Momento Linear: para analisar a colisão entre o homem-bala e sua parceira.
  • Cinética de Colisões: para calcular a velocidade após a colisão.
  • Equações do Movimento para Queda Livre: para encontrar a distância horizontal final x.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial do homem-bala em componentes horizontal ( vx) e vertical ( vy).
A velocidade inicial v0 = 24,0,m/s e o ângulo de lançamento theta = 30,0^circ.
As componentes são:
vx = v0 cdot cos(theta)
vy = v0 cdot sin(theta)
Calculando:
vx = 24,0 cdot cos(30^circ) = 24,0 cdot 0,8660 approx 20,79,m/s
vy = 24,0 cdot sin(30^circ) = 24,0 cdot 0,5 = 12,0,m/s

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo que o homem-bala leva para atingir o ponto mais alto da trajetória. No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero.
Usamos a equação da velocidade vertical:
vyfinal = vyinicial - g cdot t
Onde vyfinal = 0 e g = 9,8,m/s^2 é a aceleração da gravidade.
Resolvendo para t:
0 = 12,0 - 9,8 cdot t implies t = 12,09,8 approx 1,22,s

Passo 4

No ponto mais alto, o homem-bala e sua parceira se unem. Vamos usar a Conservação do Momento Linear para encontrar a velocidade conjunta após a colisão.
Antes da colisão:
  • Massa do homem-bala: m1 = 70,0,kg
  • Massa da parceira: m2 = 50,0,kg
  • Velocidade do homem-bala na horizontal: v1 = 20,79,m/s
  • A parceira está parada, então v2 = 0,m/s
Aplicando a conservação do momento linear na horizontal:
(m1 cdot v1 + m2 cdot v2) = (m1 + m2) cdot v'
Onde v' é a velocidade conjunta após a colisão.
Substituindo:
(70,0 cdot 20,79 + 50,0 cdot 0) = (70,0 + 50,0) cdot v'
1455,3 = 120,0 cdot v' implies v' = 1455,3120,0 approx 12,13,m/s

Passo 5

Após a colisão, o casal vai cair juntos para a mesma altura do canhão. Vamos encontrar o tempo total de voo após a colisão.
Como a altura inicial e final são iguais, o tempo de subida e descida será o dobro do tempo que leva para subir ao ponto mais alto. Porém, após a colisão, a velocidade vertical é zero, então eles apenas começam a cair. Portanto, o tempo de queda é determinado pela aceleração da gravidade.
Usamos a equação do movimento vertical:
h = vy cdot t + 12 g t^2
Como a velocidade vertical inicial após a colisão é zero:
0 = 0 cdot t + 12 cdot 9,8 cdot t^2
Isso implica que:
t = raiz2hg
Mas precisamos saber a altura h. Para simplificar, já que a plataforma está no topo da trajetória, a altura máxima h foi alcançada pelo homem-bala antes da colisão.
Calculamos h usando:
h = vy cdot t - 12 g t^2
h = 12,0 cdot 1,22 - 12 cdot 9,8 cdot (1,22)^2 approx 14,64,m
Agora, calculamos o tempo de queda:
tqueda = raiz2 cdot 14,649,8 approx raiz2,984 approx 1,73,s

Passo 6

Finalmente, vamos determinar a distância horizontal x que o casal percorre após a colisão até atingir a rede de segurança.
Usamos a velocidade horizontal após a colisão v' = 12,13,m/s e o tempo de queda tqueda = 1,73,s:
x = v' cdot tqueda = 12,13 cdot 1,73 approx 20,93,m

Resposta

A distância horizontal x é aproximadamente 20,93,metros.

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