A aceleração angular de uma roda é alpha=6 t^4-4 t^2 com alpha em radianos por segundo ao quadrado e t em segundos. No instante t=0 a roda tem uma velocidade angular de 2 rad / s e uma posição angular de 1rad. Escreva expressões para:
velocidade angular em rad/s,

Passo 1

Então, a gente tem uma roda cuja aceleração angular é dada por alpha(t) = 6 t^4 - 4 t^2, onde alpha está em rad/s² e t em segundos. No instante inicial, t=0, a velocidade angular é 2 rad/s e a posição angular é 1 rad. O que a gente precisa fazer é encontrar a expressão para a velocidade angular omega(t) em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração angular ( alpha) é a derivada da velocidade angular ( omega) em relação ao tempo. Ou seja, para achar a velocidade angular, a gente precisa integrar a função da aceleração em relação ao tempo.
Matematicamente, isso é representado por:
omega(t) = integral alpha(t) , dt + C
onde C é a constante de integração que a gente determina usando a condição inicial.

Passo 3

Vamos então integrar a função da aceleração:
omega(t) = integral (6 t^4 - 4 t^2) , dt + C
Que dá:
omega(t) = 65 t^5 - 43 t^3 + C

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante C. Sabemos que quando t=0, omega(0) = 2 rad/s. Substituindo esses valores na equação:
2 = 65 (0)^5 - 43 (0)^3 + C 2 = 0 - 0 + C C = 2

Passo 5

Finalmente, substituímos o valor de C de volta na expressão da velocidade angular:
omega(t) = 65 t^5 - 43 t^3 + 2

Resposta

A expressão para a velocidade angular é:
omega(t) = 65 t^5 - 43 t^3 + 2 rad/s

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