Considere os seguintes sinais
Mostre que
é periódico e escreva
como uma combinação linear de exponenciais complexas.
Passo 1
O enunciado dá os sinais
e pede duas coisas: (i) mostrar que
é periódico e (ii) escrever
como combinação linear de exponenciais complexas.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (apenas listadas, sem solução nesta etapa):
Informações relevantes dadas pelo enunciado (apenas listadas, sem solução nesta etapa):
- As funções trigonométricas têm argumentos
, e . - O que se pede: periodicidade de
e representação de por somas de termos .]
Passo 2
Vamos calcular os períodos fundamentais das componentes (aqui ensino a fórmula usada).
Uma função do tipo ou
tem período fundamental dado por
Uma função do tipo
onde
é a frequência angular (medida em rad/s). Explico:
avança de
quando
aumenta de
, daí o período.
Aplicando isso a cada termo:
- Para
temos , logo
- Para
temos , logo
- Para
temos , logo
Passo 3
Agora determinamos o período de
(produto dos dois termos no sinal
fica para depois). Para que
seja periódico, o período deve ser um múltiplo comum dos períodos dos seus termos. Precisamos do menor
tal que
seja múltiplo de
e de
. Em termos simples,
deve satisfazer
para inteiros positivos
. Dividindo por
obtemos
, o que exige
múltiplo de
; o menor caso é
. Portanto o menor
é
Ou seja,
é periódico de período fundamental
.
Passo 4
Para o produto
o período deve ser múltiplo comum de
e de
. O menor múltiplo comum (MMC) de
e
é
. Logo o menor período positivo comum (período fundamental) para
é
Consequentemente
é periódico de período
. (Raciocínio intuitivo: qualquer
que faça
e
precisa ser múltiplo de ambos os períodos; o menor é 6.)
Passo 5
Agora vamos escrever
como combinação linear de exponenciais complexas. Primeiro vamos usar as fórmulas de Euler (aulas rápidas):
Aqui
é a unidade imaginária (
), e
é qualquer argumento angular. Essas expressões são exatas e permitem passar de seno/cosseno para exponenciais.
Aplicando a Euler aos termos de
e
. Defina as frequências angulares
Então
Portanto
E para
:
Passo 6
Multiplicamos
por
. É conveniente agrupar constantes:
Calculemos termo a termo, primeiro o produto da parte com fator
:
Agora os produtos com
e
, lembrando que
e
:
Somando tudo obtemos (aqui substituí
por seus valores numéricos em termos de
para simplificar as fases):
Portanto
é a soma dos oito exponenciais seguintes, com coeficientes que podemos simplificar: note que
. Reescrevendo os coeficientes:
(Isto foi obtido somando os termos do produto e simplificando coeficientes algébricos; cada exponencial corresponde a uma soma ou diferença das frequências angulares originais.)]
Passo 7
Verificação final da periodicidade a partir da representação exponencial: todos os argumentos nas exponenciais são múltiplos inteiros de
, isto é, as frequências angulares presentes são
com inteiros
. A menor frequência angular não-nula comum é
, portanto o período correspondente é
confirmando de novo que
tem período fundamental
.