Considere os seguintes sinais
\begin{gathered} x(t)=\cos \left(\frac{2 \pi t}{3}\right)+2 \operatorname{sen}\left(\frac{16 \pi t}{3}\right) \\\ y(t)=\operatorname{sen}(\pi t) \end{gathered}
Mostre que z(t)=x(t) y(t) é periódico e escreva z(t) como uma combinação linear de exponenciais complexas.

Passo 1

O enunciado dá os sinais
\begin{gathered} x(t)=\cos\!\left(\frac{2\pi t}{3}\right)+2\operatorname{sen}\!\left(\frac{16\pi t}{3}\right),\\[4pt] y(t)=\operatorname{sen}(\pi t), \end{gathered}
e pede duas coisas: (i) mostrar que z(t)=x(t)\,y(t) é periódico e (ii) escrever z(t) como combinação linear de exponenciais complexas.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (apenas listadas, sem solução nesta etapa):
  • As funções trigonométricas têm argumentos \tfrac{2\pi t}{3}, \tfrac{16\pi t}{3} e \pi t.
  • O que se pede: periodicidade de z(t) e representação de z(t) por somas de termos e^{\mathrm{i}\omega t}.]

Passo 2

Vamos calcular os períodos fundamentais das componentes (aqui ensino a fórmula usada).
Uma função do tipo \cos(\omega t) ou \operatorname{sen}(\omega t) tem período fundamental dado por
T=\frac{2\pi}{\omega},
onde \omega é a frequência angular (medida em rad/s). Explico: \omega t avança de 2\pi quando t aumenta de 2\pi/\omega, daí o período.
Aplicando isso a cada termo:
  • Para \cos\!\left(\dfrac{2\pi t}{3}\right) temos \omega=\dfrac{2\pi}{3}, logo
T_1=\frac{2\pi}{2\pi/3}=3.
  • Para \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{16\pi t}{3}\right) temos \omega=\dfrac{16\pi}{3}, logo
T_2=\frac{2\pi}{16\pi/3}=\frac{2\pi\cdot 3}{16\pi}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.
  • Para \operatorname{sen}(\pi t) temos \omega=\pi, logo
T_y=\frac{2\pi}{\pi}=2.

Passo 3

Agora determinamos o período de x(t) (produto dos dois termos no sinal x fica para depois). Para que x(t) seja periódico, o período deve ser um múltiplo comum dos períodos dos seus termos. Precisamos do menor T>0 tal que T seja múltiplo de T_1=3 e de T_2=3/8. Em termos simples, T deve satisfazer
T = n_1\cdot 3 = n_2\cdot \frac{3}{8}
para inteiros positivos n_1,n_2. Dividindo por 3 obtemos n_1 = n_2/8, o que exige n_2 múltiplo de 8; o menor caso é n_2=8, n_1=1. Portanto o menor T é
T_x = 3.
Ou seja, x(t) é periódico de período fundamental 3.

Passo 4

Para o produto z(t)=x(t)y(t) o período deve ser múltiplo comum de T_x=3 e de T_y=2. O menor múltiplo comum (MMC) de 3 e 2 é 6. Logo o menor período positivo comum (período fundamental) para z(t) é
T_z=\mathrm{MMC}(3,2)=6.
Consequentemente z(t) é periódico de período 6. (Raciocínio intuitivo: qualquer T que faça x(t+T)=x(t) e y(t+T)=y(t) precisa ser múltiplo de ambos os períodos; o menor é 6.)

Passo 5

Agora vamos escrever z(t) como combinação linear de exponenciais complexas. Primeiro vamos usar as fórmulas de Euler (aulas rápidas):
\cos\theta=\frac{e^{\mathrm{i}\theta}+e^{-\mathrm{i}\theta}}{2},\qquad \operatorname{sen}\theta=\frac{e^{\mathrm{i}\theta}-e^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}.
Aqui \mathrm{i} é a unidade imaginária ( \mathrm{i}^2=-1), e \theta é qualquer argumento angular. Essas expressões são exatas e permitem passar de seno/cosseno para exponenciais.
Aplicando a Euler aos termos de x(t) e y(t). Defina as frequências angulares
\alpha=\frac{2\pi}{3},\qquad \beta=\frac{16\pi}{3},\qquad \gamma=\pi.
Então
\cos\!\left(\frac{2\pi t}{3}\right)=\frac{e^{\mathrm{i}\alpha t}+e^{-\mathrm{i}\alpha t}}{2},
2\operatorname{sen}\!\left(\frac{16\pi t}{3}\right)=2\cdot\frac{e^{\mathrm{i}\beta t}-e^{-\mathrm{i}\beta t}}{2\mathrm{i}} =\frac{1}{\mathrm{i}}\bigl(e^{\mathrm{i}\beta t}-e^{-\mathrm{i}\beta t}\bigr)=-\mathrm{i}\,e^{\mathrm{i}\beta t}+\mathrm{i}\,e^{-\mathrm{i}\beta t}.
Portanto
x(t)=\frac{e^{\mathrm{i}\alpha t}+e^{-\mathrm{i}\alpha t}}{2}-\mathrm{i}\,e^{\mathrm{i}\beta t}+\mathrm{i}\,e^{-\mathrm{i}\beta t}.
E para y(t):
y(t)=\operatorname{sen}(\pi t)=\frac{e^{\mathrm{i}\gamma t}-e^{-\mathrm{i}\gamma t}}{2\mathrm{i}}.

Passo 6

Multiplicamos x(t) por y(t). É conveniente agrupar constantes:
z(t)=x(t)y(t) =\Biggl(\frac{e^{\mathrm{i}\alpha t}+e^{-\mathrm{i}\alpha t}}{2}-\mathrm{i}\,e^{\mathrm{i}\beta t}+\mathrm{i}\,e^{-\mathrm{i}\beta t}\Biggr) \cdot\frac{e^{\mathrm{i}\gamma t}-e^{-\mathrm{i}\gamma t}}{2\mathrm{i}}.
Calculemos termo a termo, primeiro o produto da parte com fator 1/2:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\mathrm{i}}\,(e^{\mathrm{i}\alpha t}+e^{-\mathrm{i}\alpha t})(e^{\mathrm{i}\gamma t}-e^{-\mathrm{i}\gamma t}) =\frac{1}{4\mathrm{i}}\Bigl(e^{\mathrm{i}(\alpha+\gamma)t}-e^{\mathrm{i}(\alpha-\gamma)t}+e^{\mathrm{i}(\gamma-\alpha)t}-e^{-\mathrm{i}(\alpha+\gamma)t}\Bigr).
Agora os produtos com -\mathrm{i}e^{\mathrm{i}\beta t} e \mathrm{i}e^{-\mathrm{i}\beta t}, lembrando que -\mathrm{i}\cdot\frac{1}{2\mathrm{i}}=-\tfrac{1}{2} e \mathrm{i}\cdot\frac{1}{2\mathrm{i}}=\tfrac{1}{2}:
-\mathrm{i}e^{\mathrm{i}\beta t}\cdot\frac{e^{\mathrm{i}\gamma t}-e^{-\mathrm{i}\gamma t}}{2\mathrm{i}} =-\frac{1}{2}\bigl(e^{\mathrm{i}(\beta+\gamma)t}-e^{\mathrm{i}(\beta-\gamma)t}\bigr),
\mathrm{i}e^{-\mathrm{i}\beta t}\cdot\frac{e^{\mathrm{i}\gamma t}-e^{-\mathrm{i}\gamma t}}{2\mathrm{i}} =\frac{1}{2}\bigl(e^{\mathrm{i}(\gamma-\beta)t}-e^{-\mathrm{i}(\beta+\gamma)t}\bigr).
Somando tudo obtemos (aqui substituí \alpha,\beta,\gamma por seus valores numéricos em termos de \pi para simplificar as fases):
\alpha+\gamma=\frac{2\pi}{3}+\pi=\frac{5\pi}{3},\qquad \alpha-\gamma=-\frac{\pi}{3},\qquad \gamma-\alpha=\frac{\pi}{3},
\beta+\gamma=\frac{16\pi}{3}+\pi=\frac{19\pi}{3},\qquad \beta-\gamma=\frac{13\pi}{3},\qquad \gamma-\beta=-\frac{13\pi}{3}.
Portanto z(t) é a soma dos oito exponenciais seguintes, com coeficientes que podemos simplificar: note que \dfrac{1}{4\mathrm{i}}=-\dfrac{\mathrm{i}}{4}. Reescrevendo os coeficientes:
\begin{aligned} z(t)={}& -\frac{\mathrm{i}}{4}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}t}+\frac{\mathrm{i}}{4}e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}t} -\frac{\mathrm{i}}{4}e^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{3}t}+\frac{\mathrm{i}}{4}e^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{3}t}\\[4pt] &+\frac{1}{2}e^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{3}t}+\frac{1}{2}e^{-\mathrm{i}\frac{13\pi}{3}t} -\frac{1}{2}e^{\mathrm{i}\frac{19\pi}{3}t}-\frac{1}{2}e^{-\mathrm{i}\frac{19\pi}{3}t}. \end{aligned}
(Isto foi obtido somando os termos do produto e simplificando coeficientes algébricos; cada exponencial corresponde a uma soma ou diferença das frequências angulares originais.)]

Passo 7

Verificação final da periodicidade a partir da representação exponencial: todos os argumentos nas exponenciais são múltiplos inteiros de \dfrac{\pi}{3}, isto é, as frequências angulares presentes são \omega_k = m_k\cdot\dfrac{\pi}{3} com inteiros m_k. A menor frequência angular não-nula comum é \omega_0=\dfrac{\pi}{3}, portanto o período correspondente é
T=\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{\pi/3}=6,
confirmando de novo que z(t) tem período fundamental 6.

Resposta

T_z=6
\begin{aligned} z(t)={}& -\dfrac{\mathrm{i}}{4}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}t}+\dfrac{\mathrm{i}}{4}e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}t} -\dfrac{\mathrm{i}}{4}e^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{3}t}+\dfrac{\mathrm{i}}{4}e^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{3}t}\\[6pt] &+\dfrac{1}{2}e^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{3}t}+\dfrac{1}{2}e^{-\mathrm{i}\frac{13\pi}{3}t} -\dfrac{1}{2}e^{\mathrm{i}\frac{19\pi}{3}t}-\dfrac{1}{2}e^{-\mathrm{i}\frac{19\pi}{3}t}. \end{aligned}]

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