Considere os seguintes sistemas abaixo. Para cada um deles:
i- Escreva-os na forma matricial;
ii- Encontre os autovalores e autovetores da matriz associada;
iii- Esboce um campo de direções e um retrato de fase, usando uma ferramenta computacional (por exemplo, o programa do geogebra no link abaixo https://www.geogebra.org/m/utcMvuUy);
(a)
i- Escreva-os na forma matricial;
ii- Encontre os autovalores e autovetores da matriz associada;
iii- Esboce um campo de direções e um retrato de fase, usando uma ferramenta computacional (por exemplo, o programa do geogebra no link abaixo https://www.geogebra.org/m/utcMvuUy);
(a)
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema linear de EDOs de 1ª ordem em duas variáveis:
e
. O conteúdo é sistemas lineares de equações diferenciais, e vamos precisar escrever na forma matricial, achar autovalores e autovetores e, por fim, interpretar o retrato de fase.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial
, onde
e a matriz
é dada por:
Passo 3
Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico de
:
Passo 4
Resolvendo
obtemos os autovalores:
Passo 5
Agora achamos os autovetores correspondentes. Para
,
Um autovetor é
Passo 6
Para
,
Um autovetor é
Passo 7
O retrato de fase é de uma sela (saddle), pois há um autovalor positivo e um negativo. A reta estável (diretora das trajetórias que vão ao zero) é o subespaço gerado por
e a reta instável (saindo do zero) é gerada por
.
Resposta
i)
, com
[A =
.
ii) Autovalores:
,
.
Autovetores: para ,
; para
,
.
iii) Retrato de fase é uma sela: a direção estável é a reta e a instável é
.
Autovetores: para
iii) Retrato de fase é uma sela: a direção estável é a reta