Considere os seguintes sistemas abaixo. Para cada um deles:
i- Escreva-os na forma matricial;
ii- Encontre os autovalores e autovetores da matriz associada;
iii- Esboce um campo de direções e um retrato de fase, usando uma ferramenta computacional (por exemplo, o programa do geogebra no link abaixo https://www.geogebra.org/m/utcMvuUy);
(a) ly1^prime=y1+y2, y2^prime=y2+4 y1

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de EDOs de 1ª ordem em duas variáveis: y1' = y1 + y2 e y2' = 4y1 + y2. O conteúdo é sistemas lineares de equações diferenciais, e vamos precisar escrever na forma matricial, achar autovalores e autovetores e, por fim, interpretar o retrato de fase.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial y' = Ay, onde y = y1y2 e a matriz A é dada por:
A = 1 & 14 & 1

Passo 3

Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det1-lambda & 14 & 1-lambda = (1-lambda)^2 - 4 = lambda^2 - 2lambda -3

Passo 4

Resolvendo lambda^2 - 2lambda -3 = 0 obtemos os autovalores:
lambda1 = 3, lambda2 = -1

Passo 5

Agora achamos os autovetores correspondentes. Para lambda1=3,
(A - 3I)v = 0 implies -2 & 14 & -2 v1v2=0 implies v2 = 2v1
Um autovetor é v^(1) = 12

Passo 6

Para lambda2=-1,
(A + I)v = 0 implies 2 & 14 & 2 v1v2=0 implies v2 = -2v1
Um autovetor é v^(2) = 1-2

Passo 7

O retrato de fase é de uma sela (saddle), pois há um autovalor positivo e um negativo. A reta estável (diretora das trajetórias que vão ao zero) é o subespaço gerado por v^(2) e a reta instável (saindo do zero) é gerada por v^(1).

Resposta

i) y' = Ay, com
[A = 1 & 14 & 1.
ii) Autovalores: lambda1=3, lambda2=-1.
Autovetores: para lambda1=3, v^(1)=(1,2)^T; para lambda2=-1, v^(2)=(1,-2)^T.
iii) Retrato de fase é uma sela: a direção estável é a reta y2=-2y1 e a instável é y2=2y1.

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