Encontre os autovalores e seus respectivos autovetores associados para as matrizes abaixo:
(d) (cc0 & 1 -1 & 0)

Passo 1

Temos a matriz abaixo e o conteúdo da matéria: autovalores e autovetores. Vamos usar o polinômio característico e resolver (A - lambda I)v = 0 para cada valor próprio.

Passo 2

O polinômio característico é dado por det(A - lambda I). Calculando, temos
A - lambda I = -lambda & 1 -1 & -lambda
e
det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (1)(-1) = lambda^2 + 1
Logo, a equação característica é lambda^2 + 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo lambda^2 + 1 = 0, encontramos as raízes complexas
lambda = i e lambda = -i

Passo 4

Para lambda = i, resolvemos
(A - iI)v = -i & 1 -1 & -ix y = 0
Do primeiro equação -i x + y = 0 segue y = i x. Tomando x = 1, um autovetor associado é v1 = binom1i.

Passo 5

Para lambda = -i, resolvemos
(A + iI)v = i & 1 -1 & ix y = 0
Da primeira equação i x + y = 0 segue y = -i x. Tomando x = 1, um autovetor associado é v2 = binom1-i.

Resposta

Os autovalores são lambda1 = i e lambda2 = -i. Autovetores associados podem ser escolhidos como v1 = (1,,i)^T para i e v2 = (1,,-i)^T para -i, até escalares não nulos.

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