Sejam
e
inteiros com
. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contra-exemplo:
Passo 1
O enunciado pede pra checar se vale a igualdade
para inteiros
,
,
. O assunto é máximo divisor comum (MDC) e propriedades de divisibilidade.
Passo 2
A definição:
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
. Para provar a afirmação em geral teríamos de mostrar que todo divisor comum de
e
está relacionado a um divisor comum de
e
multiplicado por
, o que nem sempre ocorre.
Passo 3
Em vez de prova, vamos procurar um contraexemplo: bastam valores de
que exibam uma falha na igualdade.
Passo 4
Escolhendo
,
e
, calculamos
Passo 5
enquanto
Passo 6
Como
, esta igualdade falha para esses valores e, portanto, não é verdadeira em geral.
Resposta
Falsa. Um contraexemplo é
,
,
, pois
e
.