Sejam a, b e c inteiros com a neq 0. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contra-exemplo:
mdc(a, b c)=b cdot mdc(a, c)

Passo 1

O enunciado pede pra checar se vale a igualdade gcd(a,bc)=bcdotgcd(a,c) para inteiros aneq0, b, c. O assunto é máximo divisor comum (MDC) e propriedades de divisibilidade.

Passo 2

A definição: gcd(x,y) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente x e y. Para provar a afirmação em geral teríamos de mostrar que todo divisor comum de a e bc está relacionado a um divisor comum de a e c multiplicado por b, o que nem sempre ocorre.

Passo 3

Em vez de prova, vamos procurar um contraexemplo: bastam valores de a,b,c que exibam uma falha na igualdade.

Passo 4

Escolhendo a=4, b=6 e c=9, calculamos
gcd(4,6cdot9)=gcd(4,54)=2,

Passo 5

enquanto
6cdotgcd(4,9)=6cdot1=6

Passo 6

Como 2neq6, esta igualdade falha para esses valores e, portanto, não é verdadeira em geral.

Resposta

Falsa. Um contraexemplo é a=4, b=6, c=9, pois gcd(4,54)=2 e 6cdotgcd(4,9)=6.

Exercícios relacionados