Considere os seguintes sistemas abaixo. Para cada um deles:
i- Escreva-os na forma matricial;
ii- Encontre os autovalores e autovetores da matriz associada;
iii- Esboce um campo de direções e um retrato de fase, usando uma ferramenta computacional (por exemplo, o programa do geogebra no link abaixo https://www.geogebra.org/m/utcMvuUy);
(b)
i- Escreva-os na forma matricial;
ii- Encontre os autovalores e autovetores da matriz associada;
iii- Esboce um campo de direções e um retrato de fase, usando uma ferramenta computacional (por exemplo, o programa do geogebra no link abaixo https://www.geogebra.org/m/utcMvuUy);
(b)
Passo 1
O sistema dado é
que é um caso típico de sistemas lineares de primeira ordem. Vamos precisar reescrever na forma matricial, achar autovalores e autovetores para entender a dinâmica, e por fim classificar o ponto de equilíbrio e esboçar o retrato de fase.
Passo 2
Escrevemos o vetor de estado como
e o sistema na forma
, onde
Passo 3
Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico
Fazendo as contas:
Logo o único autovalor (dupla) é
.
Passo 4
Para achar o autovetor, resolvemos
Da primeira linha vem
, ou seja
. Tomando
, obtemos o autovetor
Passo 5
Como temos autovalor repetido
e apenas um autovetor, o sistema forma um nó impróprio instável. No retrato de fase, todas as trajetórias divergem do ponto de equilíbrio na origem, saindo tangentes à direção do autovetor
e depois curvando-se para longe.
Passo 6
Para esboçar o campo de direções e o retrato de fase, podemos usar uma ferramenta como o GeoGebra. Insira o sistema em modo de campo de direções e observe que as setas apontam para fora da origem, confirmando o nó impróprio instável.
Resposta
Forma matricial:
com
Autovalores:
(multiplicidade 2). Autovetor associado:
. O ponto de equilíbrio é um nó impróprio instável.