Considere os seguintes sistemas abaixo. Para cada um deles:
i- Escreva-os na forma matricial;
ii- Encontre os autovalores e autovetores da matriz associada;
iii- Esboce um campo de direções e um retrato de fase, usando uma ferramenta computacional (por exemplo, o programa do geogebra no link abaixo https://www.geogebra.org/m/utcMvuUy);
(b) u1^prime & =-4 u2+3 u1, u2^prime & =u1-u2

Passo 1

O sistema dado é
u1' = 3u1 - 4u2, u2' = u1 - u2,
que é um caso típico de sistemas lineares de primeira ordem. Vamos precisar reescrever na forma matricial, achar autovalores e autovetores para entender a dinâmica, e por fim classificar o ponto de equilíbrio e esboçar o retrato de fase.

Passo 2

Escrevemos o vetor de estado como u = (u1,u2)^T e o sistema na forma u' = Au, onde
A = 3 & -4[6pt]1 & -1

Passo 3

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det3-lambda & -4[3pt]1 & -1-lambda = (3-lambda)(-1-lambda) +4
Fazendo as contas:
(3-lambda)(-1-lambda) +4 = lambda^2 -2lambda -3 +4 = (lambda-1)^2
Logo o único autovalor (dupla) é lambda=1.

Passo 4

Para achar o autovetor, resolvemos
(A - I)v = 2 & -4[3pt]1 & -2v = 0
Da primeira linha vem 2v1 -4v2=0, ou seja v1=2v2. Tomando v2=1, obtemos o autovetor
v = 2[3pt]1

Passo 5

Como temos autovalor repetido lambda=1>0 e apenas um autovetor, o sistema forma um nó impróprio instável. No retrato de fase, todas as trajetórias divergem do ponto de equilíbrio na origem, saindo tangentes à direção do autovetor (2,1) e depois curvando-se para longe.

Passo 6

Para esboçar o campo de direções e o retrato de fase, podemos usar uma ferramenta como o GeoGebra. Insira o sistema em modo de campo de direções e observe que as setas apontam para fora da origem, confirmando o nó impróprio instável.

Resposta

Forma matricial: u' = Au com
A = 3 & -4[3pt]1 & -1
Autovalores: lambda=1 (multiplicidade 2). Autovetor associado: v=(2,1)^T. O ponto de equilíbrio é um nó impróprio instável.

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