Determine os inteiros positivos a e b sabendo que:
a+b=63 e mdc(a, b)=9;

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os inteiros positivos $ a $ e $ b $ sabendo que $ a + b = 63 $ e que o máximo divisor comum ( a ) de $ a $ e $ b $ é igual a 9. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra, especificamente equações lineares e propriedades do máximo divisor comum.

Passo 2

Sabemos que o mdc(a, b) = 9. Isso significa que tanto $ a $ quanto $ b $ são múltiplos de 9. Então, podemos escrever $ a = 9k $ e $ b = 9m $, onde $ k $ e $ m $ são inteiros positivos.

Passo 3

Substituindo $ a $ e $ b $ na equação $ a + b = 63 $, temos:
a

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 9:
k + m = 7
Agora, precisamos encontrar pares de inteiros positivos $ k $ e $ m $ que somem 7.

Passo 5

Os pares possíveis para $ k $ e $ m $ são:
  • $ k = 1 $, $ m = 6 $
  • $ k = 2 $, $ m = 5 $
  • $ k = 3 $, $ m = 4 $
  • $ k = 4 $, $ m = 3 $
  • $ k = 5 $, $ m = 2 $
  • $ k = 6 $, $ m = 1 $

Passo 6

Agora, substituímos de volta para encontrar $ a $ e $ b $:
  • Se $ k = 1 $, $ a = 9 \times 1 = 9 $ e $ b = 9 \times 6 = 54 $
  • Se $ k = 2 $, $ a = 18 $ e $ b = 45 $
  • Se $ k = 3 $, $ a = 27 $ e $ b = 36 $
  • Se $ k = 4 $, $ a = 36 $ e $ b = 27 $
  • Se $ k = 5 $, $ a = 45 $ e $ b = 18 $
  • Se $ k = 6 $, $ a = 54 $ e $ b = 9 $

Resposta

Os pares de inteiros positivos que satisfazem as condições são:
  • $ a = 9 $, $ b = 54 $
  • $ a = 18 $, $ b = 45 $
  • $ a = 27 $, $ b = 36 $
  • $ a = 36 $, $ b = 27 $
  • $ a = 45 $, $ b = 18 $
  • $ a = 54 $, $ b = 9 $

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