Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite:
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por . O objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um certo valor quando cresce indefinidamente) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor específico). Se ela convergir, a gente também precisa achar esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender de limites de sequências, propriedades de potências e funções trigonométricas inversas, como o arcsen.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da sequência separadamente para ver como elas se comportam quando fica muito grande. Vamos dividir a sequência em duas partes principais:
A parte das potências:
A parte do arcsen:
Vamos ver como cada uma dessas partes se comporta quando tende ao infinito.
Passo 3
Começando pela parte das potências: . Podemos reescrever isso como:
Aqui, temos uma constante multiplicando uma razão . Sabemos que, se a razão em uma potência for menor que 1 em módulo, a sequência tende a zero quando vai para o infinito. No nosso caso, , então essa parte da sequência tende a zero.
Passo 4
Agora, vamos analisar a parte do arcsen: arcsen((-1)^n1+n^2). O arcsen é a função inversa do seno, e ele está definido para valores entre -1 e 1. Olhando para o argumento da função:
(-1)^n1+n^2
Quando arcsen((-1)^n1+n^2) approx arcsen(0) = 0 aumenta, cresce muito mais rápido que 1, então também cresce sem limites. Portanto, tende a zero quando vai para o infinito. Assim, temos:
Então, essa parte da sequência também tende a zero.
Passo 5
Agora que analisamos as duas partes da sequência e vimos que ambas tendem a zero quando (-2)^n3^n+1 cdot arcsen((-1)^n1+n^2) approx 0 cdot 0 = 0 vai para o infinito, vamos juntar essas informações para entender o comportamento total da sequência original:
Portanto, multiplicando duas quantidades que tendem a zero, o resultado também tende a zero.