O máximo divisor comum de dois inteiros positivos é 10 e o maior deles é 120. Determine o outro inteiro.

Passo 1

Vamos resumir o que o problema está nos dizendo. Temos dois números inteiros positivos. O maior deles é 120 e o máximo divisor comum (MDC) entre eles é 10. Nosso objetivo é descobrir qual é o outro número. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática relacionados a divisores e múltiplos, especificamente o MDC.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o máximo divisor comum (MDC). O MDC de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. No nosso caso, o MDC é 10.

Passo 3

Sabemos que o maior número é 120. Como o MDC é 10, isso significa que 120 também é múltiplo de 10. Podemos expressar os dois números em termos de múltiplos de 10. Vamos chamar o outro número de 10 times k, onde k é um inteiro positivo.

Passo 4

Agora, sabemos que o MDC entre 120 e 10k é 10. Para que 10 seja o maior divisor comum, k e 12010 = 12 devem ser números que não têm mais nenhum divisor comum além de 1. Ou seja, k e 12 são coprimos.

Passo 5

Então, precisamos encontrar um valor de k que seja coprimo com 12. Isso significa que k não pode ter fatores primos em comum com 12. Os fatores primos de 12 são 2 e 3, então k não pode ser múltiplo de 2 ou 3.

Passo 6

Vamos listar os possíveis valores de k que satisfazem essa condição: 1, 5, 7, 11, etc. Vamos testar qual desses valores, quando multiplicado por 10, nos dará um número menor que 120 (já que 120 é o maior número).

Passo 7

Testando k = 5:
10 times 5 = 50
Verificamos que 50 é menor que 120 e que o MDC de 120 e 50 é 10, confirmando nossa condição.

Resposta

O outro inteiro é 50.

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