O máximo divisor comum de dois inteiros positivos é 10 e o maior deles é 120. Determine o outro inteiro.
Passo 1
Vamos resumir o que o problema está nos dizendo. Temos dois números inteiros positivos. O maior deles é 120 e o máximo divisor comum (MDC) entre eles é 10. Nosso objetivo é descobrir qual é o outro número. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática relacionados a divisores e múltiplos, especificamente o MDC.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o máximo divisor comum (MDC). O MDC de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. No nosso caso, o MDC é 10.
Passo 3
Sabemos que o maior número é 120. Como o MDC é 10, isso significa que 120 também é múltiplo de 10. Podemos expressar os dois números em termos de múltiplos de 10. Vamos chamar o outro número de
, onde
é um inteiro positivo.
Passo 4
Agora, sabemos que o MDC entre 120 e
é 10. Para que 10 seja o maior divisor comum,
e
devem ser números que não têm mais nenhum divisor comum além de 1. Ou seja,
e 12 são coprimos.
Passo 5
Então, precisamos encontrar um valor de
que seja coprimo com 12. Isso significa que
não pode ter fatores primos em comum com 12. Os fatores primos de 12 são 2 e 3, então
não pode ser múltiplo de 2 ou 3.
Passo 6
Vamos listar os possíveis valores de
que satisfazem essa condição: 1, 5, 7, 11, etc. Vamos testar qual desses valores, quando multiplicado por 10, nos dará um número menor que 120 (já que 120 é o maior número).
Passo 7
Testando
:
Verificamos que 50 é menor que 120 e que o MDC de 120 e 50 é 10, confirmando nossa condição.
Resposta
O outro inteiro é 50.