Considere os seguintes sistemas abaixo. Para cada um deles:
i- Escreva-os na forma matricial;
ii- Encontre os autovalores e autovetores da matriz associada;
iii- Esboce um campo de direções e um retrato de fase, usando uma ferramenta computacional (por exemplo, o programa do geogebra no link abaixo https://www.geogebra.org/m/utcMvuUy);
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i- Escreva-os na forma matricial;
ii- Encontre os autovalores e autovetores da matriz associada;
iii- Esboce um campo de direções e um retrato de fase, usando uma ferramenta computacional (por exemplo, o programa do geogebra no link abaixo https://www.geogebra.org/m/utcMvuUy);
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Passo 1
Temos o sistema
O conteúdo é sistemas lineares de EDO, e vamos precisar: 1) escrever na forma
; 2) achar autovalores e autovetores de
; 3) usar a parte real e imaginária dos autovalores para esboçar o retrato de fase.
Passo 2
Escrevendo em forma matricial definimos
e
de modo que
$$
y’=Ay.$$
Passo 3
Para os autovalores calculamos o polinômio característico
Resolvendo:
Passo 4
Para
achamos o autovetor não nulo
satisfazendo
. Isso dá
que implica
ou
. Para
usamos o conjugado.
Passo 5
Da teoria de sistemas lineares, com autovalores complexos
e autovetor complexo podemos escrever a solução geral real como
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
A parte real
<0 faz o fator
decair para zero, indicando que todas as trajetórias espiralam para a origem. O termo oscilatório
faz o movimento girar. Avaliando a direção do vetor em pontos como
e
conclui-se que a rotação é no sentido horário.
Passo 7
Assim, o esboço do campo de direções e do retrato de fase é um espiral assintoticamente estável em que as trajetórias giram no sentido horário rumo à origem.
Resposta
i)
com
ii) Autovalores: . Autovetor para
:
(e conjugado para
).
iii) O retrato de fase é um espiral assintoticamente estável, de movimento horário rumo à origem.
ii) Autovalores:
iii) O retrato de fase é um espiral assintoticamente estável, de movimento horário rumo à origem.