Considere os seguintes sistemas abaixo. Para cada um deles:
i- Escreva-os na forma matricial;
ii- Encontre os autovalores e autovetores da matriz associada;
iii- Esboce um campo de direções e um retrato de fase, usando uma ferramenta computacional (por exemplo, o programa do geogebra no link abaixo https://www.geogebra.org/m/utcMvuUy);
© ly1^prime=y2-y12, y2^prime=-y1-y22

Passo 1

Temos o sistema
y1'=y2-tfrac12y1, y2'=-y1-tfrac12y2
O conteúdo é sistemas lineares de EDO, e vamos precisar: 1) escrever na forma y'=Ay; 2) achar autovalores e autovetores de A; 3) usar a parte real e imaginária dos autovalores para esboçar o retrato de fase.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial definimos y=y1y2 e
A=-tfrac12 & 1-1 & -tfrac12,
de modo que
$$
y’=Ay.$$

Passo 3

Para os autovalores calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=det-tfrac12-lambda & 1-1 & -tfrac12-lambda=( -tfrac12-lambda)^2+1=0
Resolvendo:
(lambda+tfrac12)^2=-1implieslambda+tfrac12=pm iimplieslambda1,2=-tfrac12pm i

Passo 4

Para lambda1=-tfrac12+i achamos o autovetor não nulo v satisfazendo (A-lambda1I)v=0. Isso dá
-i & 1-1 & -iv1v2=0
que implica -i v1+v2=0 ou v=1i. Para lambda2 usamos o conjugado.

Passo 5

Da teoria de sistemas lineares, com autovalores complexos -tfrac12pm i e autovetor complexo podemos escrever a solução geral real como
y(t)=e^-t/2l[C1cos t-sin t+C2sin tcos tr],
onde C1,C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

A parte real -tfrac12<0 faz o fator e^-t/2 decair para zero, indicando que todas as trajetórias espiralam para a origem. O termo oscilatório pm i faz o movimento girar. Avaliando a direção do vetor em pontos como (1,0) e (0,1) conclui-se que a rotação é no sentido horário.

Passo 7

Assim, o esboço do campo de direções e do retrato de fase é um espiral assintoticamente estável em que as trajetórias giram no sentido horário rumo à origem.

Resposta

i) y'=Ay com A=-tfrac12 & 1-1 & -tfrac12
ii) Autovalores: lambda1,2=-tfrac12pm i. Autovetor para lambda1: v=1i (e conjugado para lambda2).
iii) O retrato de fase é um espiral assintoticamente estável, de movimento horário rumo à origem.

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