Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solucão geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos o lado direito a zero:
Para resolver essa equação, usamos a equação característica. Suponha uma solução da forma $ y = e^{rx} $. Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Podemos fazer uma substituição para simplificar. Seja $ z = r^2 $, então a equação fica:
Isso é um trinomio perfeito, pois:
Agora, voltando para $ r $:
Cada raiz tem multiplicidade 2, pois $ z = -1 $ tinha multiplicidade 2.
Passo 4
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Como as raízes são $ r = i $ e $ r = -i $, cada uma com multiplicidade 2, as soluções básicas são:
Assim, as soluções reais são:
Então, a solução geral da homogênea é:
onde $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação original:
Como o termo $ \sin x $ já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por $ x $ para obter uma solução particular diferente. Portanto, vamos supor uma solução particular da forma:
onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas necessárias de $ y_p(x) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Passo 7
Substituindo $ y_p, y_p’’, y_p’’’’ $ na equação original:
Substituindo as expressões:
Vamos simplificar termo a termo.
Passo 8
Simplificando cada parte:
- Termos sem $ x $:
- Termos com $ x $:
Portanto, a equação se reduz a:
Isso indica que nossa suposição para a solução particular precisa ser ajustada. Como $ \sin x $ já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por $ x^2 $.
Passo 9
Vamos tentar uma nova suposição para a solução particular:
Agora, calcularemos as derivadas necessárias.
Passo 10
Calculando as derivadas de $ y_p(x) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Passo 11
Substituindo $ y_p, y_p’’, y_p’’’’ $ na equação original:
Após calcular e simplificar, igualamos os coeficientes dos termos $ \cos x $ e $ \sin x $ dos dois lados da equação para encontrar valores de $ A $ e $ B $.
Finalmente, resolvendo para $ A $ e $ B $, obtemos a solução particular.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ são constantes arbitrárias.