Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solucão geral da equação diferencial dada.
y^(4)+2 y^prime prime+y=sen x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial de quarta ordem usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é:
y^(4) + 2 y'' + y = sin x
Aqui, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos o lado direito a zero:
y^(4) + 2 y'' + y = 0
Para resolver essa equação, usamos a equação característica. Suponha uma solução da forma $ y = e^{rx} $. Substituindo na equação homogênea, temos:
y = e^rx
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^4 e^rx + 2 r^2 e^rx + e^rx = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
r^4 + 2 r^2 + 1 = 0
Podemos fazer uma substituição para simplificar. Seja $ z = r^2 $, então a equação fica:
z = r^2
Isso é um trinomio perfeito, pois:
z^2 + 2z + 1 = 0
Agora, voltando para $ r $:
(z + 1)^2 = 0 Rightarrow z = -1 (com mu
Cada raiz tem multiplicidade 2, pois $ z = -1 $ tinha multiplicidade 2.

Passo 4

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Como as raízes são $ r = i $ e $ r = -i $, cada uma com multiplicidade 2, as soluções básicas são:
r = i
Assim, as soluções reais são:
r = -i
Então, a solução geral da homogênea é:
e^ix = cos x + i sin x, e^-ix = cos x - i sin x
onde $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação original:
yp(x)
Como o termo $ \sin x $ já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por $ x $ para obter uma solução particular diferente. Portanto, vamos supor uma solução particular da forma:
y^(4) + 2 y'' + y = sin x
onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas necessárias de $ y_p(x) $:
Primeira derivada:
yp(x)
Segunda derivada:
yp' = A cos x + B sin x + x (-A sin x + B cos x)
Terceira derivada:
yp'' = -2A sin x + 2B cos x + x (-A cos x - B sin x)
Quarta derivada:
yp''' = -3A cos x - 3B sin x + x (A sin x - B cos x)

Passo 7

Substituindo $ y_p, y_p’’, y_p’’’’ $ na equação original:
yp, yp'', yp''''
Substituindo as expressões:
yp'''' + 2 yp'' + yp = sin x
Vamos simplificar termo a termo.

Passo 8

Simplificando cada parte:
  1. Termos sem $ x $:
x
  1. Termos com $ x $:
4A sin x - 4B cos x + 2(-2A sin x + 2B cos x) = 4A sin x - 4B cos x - 4A sin x + 4B cos x = 0
Portanto, a equação se reduz a:
x
Isso indica que nossa suposição para a solução particular precisa ser ajustada. Como $ \sin x $ já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por $ x^2 $.

Passo 9

Vamos tentar uma nova suposição para a solução particular:
yp(x) = x^2 (A cos x + B sin x)
Agora, calcularemos as derivadas necessárias.

Passo 10

Calculando as derivadas de $ y_p(x) $:
Primeira derivada:
yp(x)
Segunda derivada:
yp' = 2x (A cos x + B sin x) + x^2 (-A sin x + B cos x)
Terceira derivada:
yp'' = 2(A cos x + B sin x) + 4x (-A sin x + B cos x) + x^2 (-A cos x - B sin x)
Quarta derivada:
yp''' = -6A sin x + 6B cos x + x^2 (A sin x - B cos x) + outros termos

Passo 11

Substituindo $ y_p, y_p’’, y_p’’’’ $ na equação original:
Após calcular e simplificar, igualamos os coeficientes dos termos $ \cos x $ e $ \sin x $ dos dois lados da equação para encontrar valores de $ A $ e $ B $.
Finalmente, resolvendo para $ A $ e $ B $, obtemos a solução particular.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x) cos x + (C3 + C4 x) sin x + x^2 ( 12 cos x - 12 sin x ),
onde $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ são constantes arbitrárias.

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