Verifique que y1(x)=x, y2(x)=x^2 e y3(x)=x^3 são soluções da equação homogênea associada à equação
x^3 y^prime prime prime-3 x^2 y^prime prime+6 x y^prime-6 y=f(x), x>0
A partir daí, encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar que as funções $ y_{1}(x)=x $, $ y_{2}(x)=x^{2} $ e $ y_{3}(x)=x^{3} $ são soluções da equação homogênea associada à equação dada:
y1(x)=x
Depois disso, precisamos encontrar uma fórmula que envolva integrais para uma solução particular dessa equação diferencial. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de ordem superior e o método de coeficientes a determinar, mais especificamente, a variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar que as funções $ y_{1}(x)=x $, $ y_{2}(x)=x^{2} $ e $ y_{3}(x)=x^{3} $ realmente satisfazem a equação homogênea associada. A equação homogênea é obtida colocando $ f(x) = 0 $:
y1(x)=x
Vamos calcular as derivadas de cada função e substituir na equação para confirmar.

Passo 3

Vamos começar com $ y_{1}(x) = x $:
Calculando as derivadas:
y1(x) = x
Substituindo na equação homogênea:
y1^prime = 1, y1^primeprime = 0, y1^primeprimeprime = 0
x^3(0) - 3x^2(0) + 6x(1) - 6x = 0,
0 - 0 + 6x - 6x = 0,
Portanto, $ y_{1}(x) = x $ é uma solução da equação homogênea.

Passo 4

Agora, vamos verificar $ y_{2}(x) = x^{2} $:
Calculando as derivadas:
y2(x) = x^2
Substituindo na equação homogênea:
y2^prime = 2x, y2^primeprime = 2, y2^primeprimeprime = 0
x^3(0) - 3x^2(2) + 6x(2x) - 6x^2 = 0,
0 - 6x^2 + 12x^2 - 6x^2 = 0,
Assim, $ y_{2}(x) = x^{2} $ também é uma solução da equação homogênea.

Passo 5

Por fim, vamos verificar $ y_{3}(x) = x^{3} $:
Calculando as derivadas:
y3(x) = x^3
Substituindo na equação homogênea:
y3^prime = 3x^2, y3^primeprime = 6x, y3^primeprimeprime = 6
x^3(6) - 3x^2(6x) + 6x(3x^2) - 6x^3 = 0,
6x^3 - 18x^3 + 18x^3 - 6x^3 = 0,
Portanto, $ y_{3}(x) = x^{3} $ também satisfaz a equação homogênea.

Passo 6

Agora que confirmamos que $ y_{1}(x) $, $ y_{2}(x) $ e $ y_{3}(x) $ são soluções da equação homogênea, podemos usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea.
O método de variação de parâmetros nos diz que uma solução particular $ y_{p}(x) $ pode ser escrita como uma combinação linear das soluções da homogênea, mas onde os coeficientes são funções a serem determinadas:

Passo 7

Para encontrar $ u_{1}(x) $, $ u_{2}(x) $ e $ u_{3}(x) $, precisamos montar um sistema de equações usando as derivadas de $ y_{p}(x) $. Porém, para simplificar, já que temos três soluções lineares independentes, podemos utilizar a fórmula geral que envolve integrais e o Wronskiano.
A fórmula para a solução particular é:
u1(x)
onde $ W(x) $ é o Wronskiano das soluções homogêneas.

Passo 8

O Wronskiano $ W(x) $ é o determinante formado pelas soluções e suas derivadas:
W(x)
Calculando as derivadas e substituindo as soluções dadas, podemos encontrar $ W(x) $.

Passo 9

Após calcular o Wronskiano e substituir na fórmula da solução particular, teremos uma expressão que envolve integrais das funções conhecidas e $ f(x) $. Essa será a nossa solução particular desejada.

Resposta

A fórmula para uma solução particular da equação diferencial é
yp(x) = -x integral x^2 cdot x^3 cdot f(x)W(x) dx + x^2 integral x cdot x^3 cdot f(x)W(x) dx - x^3 integral x cdot x^2 cdot f(x)W(x) dx,
onde $ W(x) $ é o Wronskiano das soluções $ y_{1}(x) = x $, $ y_{2}(x) = x^{2} $ e $ y_{3}(x) = x^{3} $.

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