Verifique que
e
são soluções da equação homogênea associada à equação
A partir daí, encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar que as funções $ y_{1}(x)=x $, $ y_{2}(x)=x^{2} $ e $ y_{3}(x)=x^{3} $ são soluções da equação homogênea associada à equação dada:
Depois disso, precisamos encontrar uma fórmula que envolva integrais para uma solução particular dessa equação diferencial. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de ordem superior e o método de coeficientes a determinar, mais especificamente, a variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar que as funções $ y_{1}(x)=x $, $ y_{2}(x)=x^{2} $ e $ y_{3}(x)=x^{3} $ realmente satisfazem a equação homogênea associada. A equação homogênea é obtida colocando $ f(x) = 0 $:
Vamos calcular as derivadas de cada função e substituir na equação para confirmar.
Passo 3
Vamos começar com $ y_{1}(x) = x $:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Portanto, $ y_{1}(x) = x $ é uma solução da equação homogênea.
Passo 4
Agora, vamos verificar $ y_{2}(x) = x^{2} $:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Assim, $ y_{2}(x) = x^{2} $ também é uma solução da equação homogênea.
Passo 5
Por fim, vamos verificar $ y_{3}(x) = x^{3} $:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Portanto, $ y_{3}(x) = x^{3} $ também satisfaz a equação homogênea.
Passo 6
Agora que confirmamos que $ y_{1}(x) $, $ y_{2}(x) $ e $ y_{3}(x) $ são soluções da equação homogênea, podemos usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea.
O método de variação de parâmetros nos diz que uma solução particular $ y_{p}(x) $ pode ser escrita como uma combinação linear das soluções da homogênea, mas onde os coeficientes são funções a serem determinadas:
Passo 7
Para encontrar $ u_{1}(x) $, $ u_{2}(x) $ e $ u_{3}(x) $, precisamos montar um sistema de equações usando as derivadas de $ y_{p}(x) $. Porém, para simplificar, já que temos três soluções lineares independentes, podemos utilizar a fórmula geral que envolve integrais e o Wronskiano.
A fórmula para a solução particular é:
onde $ W(x) $ é o Wronskiano das soluções homogêneas.
Passo 8
O Wronskiano $ W(x) $ é o determinante formado pelas soluções e suas derivadas:
Calculando as derivadas e substituindo as soluções dadas, podemos encontrar $ W(x) $.
Passo 9
Após calcular o Wronskiano e substituir na fórmula da solução particular, teremos uma expressão que envolve integrais das funções conhecidas e $ f(x) $. Essa será a nossa solução particular desejada.
Resposta
A fórmula para uma solução particular da equação diferencial é
onde $ W(x) $ é o Wronskiano das soluções $ y_{1}(x) = x $, $ y_{2}(x) = x^{2} $ e $ y_{3}(x) = x^{3} $.