Considere os seguintes subconjuntos de M2(R) :
S=X in M2(R): X=X^t e V=[cc 2 a & a-b 0 & a+b ]: a, b in R
Determine base e dimensão para os subespaço U, V, U cap V e U+V.

Passo 1

O enunciado define U=S como o subespaço de todas as matrizes simétricas em M2(R),
ou seja
U=lXin M2(R):X=X^ tr,
e
V=2a & a-b0 & a+b:a,binR
Queremos encontrar base e dimensão de U, de V, de Ucap V e de U+V.

Passo 2

Para , uma matriz simétrica genérica tem a forma
com . Logo e uma base natural é

Passo 3

Para V, o elemento genérico é
X(a,b)=2a & a-b0 & a+b = a2&10&1 + b0&-10&1
Como os dois vetores matriciais são linearmente independentes, dim V=2 e uma base é
BV=2&10&1,; 0&-10&1

Passo 4

Em Ucap V exigimos que
2a & a-b0 & a+b
seja simétrica, ou seja a-b=0 e 0=a-b. Daí b=a e
X=2a&00&2a =2a1&00&1
Logo Ucap V é gerado por 1&00&1, tem dimensão 1.

Passo 5

Pelo teorema de dimensões,
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V)=3+2-1=4
Como M2(R) tem dimensão 4, segue que U+V=M2(R). Uma base conveniente de U+V é a base canônica de M2(R):
BU+V =1&00&0,; 0&10&0,; 0&01&0,; 0&00&1

Resposta

U: dim U=3, BU=l1&00&0,0&11&0,0&00&1.
V: dim V=2, BV=l2&10&1,0&-10&1.
Ucap V: dim(Ucap V)=1, base 1&00&1.
U+V: dim(U+V)=4, e U+V=M2(R) com base canônica acima.

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