Determine se os seguintes conjuntos são subesespaços vetoriais (sobre R ).
S=a x^3+b x^2+c x+d in P3[x](R): a+b+c+d=0, b=2 c e a=3 d

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S=l,a x^3+b x^2+c x+dinP3(R):a+b+c+d=0,;b=2c,;a=3d
é um subespaço vetorial de P3(R). O espaço ambiente é o de todos os polinômios de grau até 3. Sabemos que um subconjunto é subespaço se e somente se contiver o polinômio zero e for fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Reescrevemos as condições como um sistema linear homogêneo em (a,b,c,d):
a + b + c + d = 0, b - 2c = 0, a - 3d = 0
Cada equação define o núcleo de uma forma linear, e a interseção de núcleos de formas lineares é sempre subespaço.

Passo 3

Resolvendo o sistema:
de a-3d=0 segue a=3d,
de b-2c=0 segue b=2c.
Substituindo em a+b+c+d=0:
3d + 2c + c + d =0 ;Longrightarrow; 4d + 3c = 0 ;Longrightarrow; c = -tfrac43d,
então
b = 2c = -tfrac83d, a=3d
Logo todo polinômio de S pode ser escrito como
p(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d = dl(3x^3 - tfrac83x^2 - tfrac43x + 1r),
isto é,
S = spanl,3x^3 - tfrac83x^2 - tfrac43x + 1r

Passo 4

Como S é o span de um único vetor (polinômio), ele contém o polinômio zero (caso d=0) e é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Portanto S é subespaço vetorial de P3(R).

Resposta

Sim, S é um subespaço vetorial de P3(R) (dimensão 1, gerado por 3x^3 - tfrac83x^2 - tfrac43x + 1).

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