Determine se os seguintes conjuntos são subesespaços vetoriais (sobre ). e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de . O espaço ambiente é o de todos os polinômios de grau até 3. Sabemos que um subconjunto é subespaço se e somente se contiver o polinômio zero e for fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Reescrevemos as condições como um sistema linear homogêneo em :
Cada equação define o núcleo de uma forma linear, e a interseção de núcleos de formas lineares é sempre subespaço.
Passo 3
Resolvendo o sistema:
de a-3d=0 segue a=3d,
de b-2c=0 segue b=2c.
Substituindo em a+b+c+d=0:
3d + 2c + c + d =0 ;Longrightarrow; 4d + 3c = 0 ;Longrightarrow; c = -tfrac43d,
então
b = 2c = -tfrac83d, a=3d
Logo todo polinômio de S pode ser escrito como
p(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d = dl(3x^3 - tfrac83x^2 - tfrac43x + 1r),
isto é,
S = spanl,3x^3 - tfrac83x^2 - tfrac43x + 1r
Passo 4
Como S é o span de um único vetor (polinômio), ele contém o polinômio zero (caso d=0) e é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Portanto S é subespaço vetorial de P3(R).
Resposta
Sim, S é um subespaço vetorial de P3(R) (dimensão 1, gerado por 3x^3 - tfrac83x^2 - tfrac43x + 1).