Considere os seguintes subconjuntos de
.
conjuntos dos números pares,
o conjunto dos números ímpares e
o conjunto dos números primos. Construa uma bijeção entre:
um subconjunto próprio de
e
.
um subconjunto próprio de
Passo 1
O enunciado pede uma bijeção entre um subconjunto próprio de
e
inteiro.
Conteúdo: mostraremos que, mesmo sendo próprio, um subconjunto infinito de pode ter a mesma “tamanho” (cardinalidade) de
via bijeção. Vamos escolher como subconjunto próprio o conjunto dos pares
Conteúdo: mostraremos que, mesmo sendo próprio, um subconjunto infinito de
Passo 2
Definimos a função
por
Aqui
e é infinito. Agora mostramos que
é bijetora.
Passo 3
Prova de injetividade. Suponha que
Então
e, dividindo ambos os lados por
, vem
Logo
é injetiva.
Passo 4
Prova de sobrejetividade. Seja
. Por definição de
existe algum
tal que
. Basta então tomar
, pois
Assim, todo elemento de
é imagem de algum
, e
é sobrejetiva.
Resposta
Uma bijeção explícita é
onde
é o subconjunto próprio dos números pares em
.