Considere os seguintes subconjuntos de N. P conjuntos dos números pares, I o conjunto dos números ímpares e P o conjunto dos números primos. Construa uma bijeção entre:
um subconjunto próprio de N e N.

Passo 1

O enunciado pede uma bijeção entre um subconjunto próprio de N e N inteiro.
Conteúdo: mostraremos que, mesmo sendo próprio, um subconjunto infinito de N pode ter a mesma “tamanho” (cardinalidade) de N via bijeção. Vamos escolher como subconjunto próprio o conjunto dos pares
P = ,2n mid n in N

Passo 2

Definimos a função
fcolon N to P
por
f(n) = 2n
Aqui PsubsetneqN e é infinito. Agora mostramos que f é bijetora.

Passo 3

Prova de injetividade. Suponha que
f(n1) = f(n2)
Então
2n1 = 2n2
e, dividindo ambos os lados por 2, vem
n1 = n2
Logo f é injetiva.

Passo 4

Prova de sobrejetividade. Seja pin P. Por definição de P existe algum minN tal que p=2m. Basta então tomar n=m, pois
f(n) = 2m = p
Assim, todo elemento de P é imagem de algum n, e f é sobrejetiva.

Resposta

Uma bijeção explícita é
fcolon Nto P, f(n)=2n,
onde P é o subconjunto próprio dos números pares em N.

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