(RA1) Calcule as integrais dadas:
integral0^4 14-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^414 - x,dx
O conteúdo aqui é tratamento de integral imprópria, pois o integrando fica singular em x=4. Vamos reescrever como limite para avaliar a convergência.

Passo 2

Definimos a integral imprópria pelo limite
integral0^414 - x,dx =limbto4^-integral0^b14 - x,dx
Agora basta encontrar a primitiva de 14 - x.

Passo 3

Para achar a primitiva, note que
ddxl[-lnlvert 4 - xrvertr] =-14 - xcdot(-1) =14 - x
Logo,
integral14 - x,dx =-lnlvert 4 - xrvert + C
Então a integral de 0 a b é
integral0^b14 - x,dx =l[-lnlvert 4 - xrvertr]0^b =-lnlvert 4 - brvert - l(-lnlvert 4 - 0rvertr) =ln(4) - lnl(4 - br)

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando bto4^-:
limbto4^-l[ln(4) - ln(4 - b)r] =ln(4) - limbto4^-ln(4 - b)
Como 4 - bto0^+, tem ln(4 - b)to -infty, e portanto
ln(4) - (-infty)=+infty
Isso mostra que a integral diverge para +infty.

Resposta

A integral é imprópria e diverge, isto é,
integral0^414 - x,dx=+infty

Exercícios relacionados