O objetivo deste exercício é formalizar a ideia comentada em sala de aula de que a derivada de uma função
em um ponto
define uma aproximação linear de
em torno do ponto
. Siga o roteiro abaix
.
a) Dada uma função
derivável em um ponto
, escreva a equação da reta tangente
ao gráfico de
no ponto
e faça um esboço do gráfico de
e da reta tangente.
b) Defina, para
a função
e mostre que
. Você reconhece o numerador de
em termos da reta tangente?
c) Defina
para que a função
seja contínua em
.
d) Denotamos por
a função que calcula o erro cometido ao aproximar
pela reta tangente
(no ponto
). No item (b) mostramos que
, este limite deve ser entendido como "o erro
cometido na aproximação linear tende a zero mais rapidamente que
".
e) É possível provar ainda que: dentre todas as retas que passam por
, a reta tangente ao gráfico de
(que chamamos de
) é a única que se aproxima de
fazendo com que o erro tenda a zero mais rapidamente que
.
Dica: Para formalizar o item (e), suponha que
é o erro cometido ao aproximar
por uma reta passando por
com coeficiente angular
e calcule o limite
.
a) Dada uma função
b) Defina, para
c) Defina
d) Denotamos por
e) É possível provar ainda que: dentre todas as retas que passam por
Dica: Para formalizar o item (e), suponha que
Passo 1
O enunciado nos pede para formalizar a ideia de que a derivada de uma função
em um ponto
fornece uma aproximação linear de
perto de
. Vamos usar o fato de que, se
é derivável em
, então o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
é
. A partir daí definiremos uma função de “resto”
, mostraremos que ela tende a zero, ajustaremos seu valor em
para continuidade, definiremos o erro
e, por fim, provaremos a unicidade da reta tangente.
Passo 2
(a) Como
é derivável em
, a reta tangente
ao gráfico de
em
tem coeficiente angular
. Logo sua equação é
No esboço, a curva
e a reta
se tocam em
e têm a mesma inclinação ali.
Passo 3
(b) Definimos, para
,
Note que o numerador é exatamente
, isto é, a diferença entre
e sua reta tangente. Como
, temos
Passo 4
(c) Para que
seja contínua em
, basta definir
pois
.
Passo 5
(d) Definimos o erro da aproximação linear por
Do item (b) segue
isto é, o erro tende a zero mais rapidamente que
.
Passo 6
(e) Suponha que haja outra reta passando por
com coeficiente angular
. O erro para essa reta seria
Então
Portanto só a reta de coeficiente
faz o erro decair mais rápido que
.
Resposta
(a)
.
(b) e
.
(c) .
(d) , com
.
(e) A reta de coeficiente angular é a única que faz
.
(b)
(c)
(d)
(e) A reta de coeficiente angular