O objetivo deste exercício é formalizar a ideia comentada em sala de aula de que a derivada de uma função f em um ponto p define uma aproximação linear de f em torno do ponto p. Siga o roteiro abaix ^1.
a) Dada uma função f: dom(f) R derivável em um ponto p in dom(f), escreva a equação da reta tangente rp ao gráfico de f no ponto (p, f(p)) e faça um esboço do gráfico de f e da reta tangente.
b) Defina, para x in dom(f), x neq p a função rho(x) doteq f(x)-f(p)-f^prime(p)(x-p)x-p e mostre que lim x p rho(x)=0. Você reconhece o numerador de rho(x) em termos da reta tangente?
c) Defina rho(p) para que a função rho seja contínua em p.
d) Denotamos por E(x) doteq rho(x)(x-p) a função que calcula o erro cometido ao aproximar f pela reta tangente rp (no ponto (p, f(p)) ). No item (b) mostramos que lim x p E(x)x-p=0, este limite deve ser entendido como "o erro E(x) cometido na aproximação linear tende a zero mais rapidamente que (x-p) ".
e) É possível provar ainda que: dentre todas as retas que passam por (p, f(p)), a reta tangente ao gráfico de f (que chamamos de rp ) é a única que se aproxima de f fazendo com que o erro tenda a zero mais rapidamente que x-p.
Dica: Para formalizar o item (e), suponha que E(x) é o erro cometido ao aproximar f por uma reta passando por (p, f(p)) com coeficiente angular m neq f^prime(p) e calcule o limite lim x 0 E(x)x-p.

Passo 1

O enunciado nos pede para formalizar a ideia de que a derivada de uma função f em um ponto p fornece uma aproximação linear de f perto de p. Vamos usar o fato de que, se f é derivável em p, então o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em (p,f(p)) é f'(p). A partir daí definiremos uma função de “resto” rho, mostraremos que ela tende a zero, ajustaremos seu valor em p para continuidade, definiremos o erro E e, por fim, provaremos a unicidade da reta tangente.

Passo 2

(a) Como f é derivável em p, a reta tangente rp ao gráfico de f em (p,f(p)) tem coeficiente angular f'(p). Logo sua equação é
rp(x)=f(p)+f'(p),(x-p)
No esboço, a curva y=f(x) e a reta y=rp(x) se tocam em x=p e têm a mesma inclinação ali.

Passo 3

(b) Definimos, para xneq p,
rho(x)doteqf(x)-f(p)-f'(p),(x-p)x-p
Note que o numerador é exatamente f(x)-rp(x), isto é, a diferença entre f e sua reta tangente. Como f'(p)=limxto pf(x)-f(p)x-p, temos
limxto prho(x) =limxto pf(x)-f(p)x-p-f'(p)1 =0

Passo 4

(c) Para que rho seja contínua em p, basta definir
rho(p)doteq0,
pois limxto prho(x)=0.

Passo 5

(d) Definimos o erro da aproximação linear por
E(x)doteqrho(x),(x-p)=f(x)-rp(x)
Do item (b) segue
limxto pE(x),x-p, =limxto prho(x)=0,
isto é, o erro tende a zero mais rapidamente que x-p.

Passo 6

(e) Suponha que haja outra reta passando por (p,f(p)) com coeficiente angular mneq f'(p). O erro para essa reta seria
widetilde E(x)=f(x)-l[f(p)+m(x-p)r]
Então
limxto pwidetilde E(x),x-p, =limxto pf(x)-f(p)x-p-m =f'(p)-mneq0
Portanto só a reta de coeficiente f'(p) faz o erro decair mais rápido que x-p.

Resposta

(a) rp(x)=f(p)+f'(p),(x-p).
(b) rho(x)=f(x)-f(p)-f'(p)(x-p)x-p e limxto prho(x)=0.
(c) rho(p)=0.
(d) E(x)=rho(x),(x-p), com limxto pE(x)/(x-p)=0.
(e) A reta de coeficiente angular f'(p) é a única que faz limxto pE(x)/(x-p)=0.

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