Considere os seguintes subconjuntos de N. P conjuntos dos números pares, I o conjunto dos números ímpares e P o conjunto dos números primos. Construa uma bijeção entre:
um subconjunto próprio de I e I.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe uma bijeção entre um subconjunto próprio de I (os ímpares) e I em si. Na prática, vamos escolher um Xsubsetneq I e construir
fcolon X to I
que seja injetora e sobrejetora.

Passo 2

Escolhemos
X = I setminus 1 = 3,5,7,9,dots
e reescrevemos generically cada elemento de X como
x = 2n+1, ninN, n>=1
Definimos então
f(2n+1) = (2n+1)-2 = 2n-1

Passo 3

Mostramos que f é injetora. Suponha
f(2n+1)=f(2m+1)
Então
2n-1 = 2m-1 Longrightarrow n = m Longrightarrow 2n+1 = 2m+1
Logo f é injetora.

Passo 4

Mostramos que f é sobrejetora. Seja yin I. Então y é um ímpar qualquer, digamos
y = 2k-1, kinN, k>=1
Basta escolher
x = y+2 = 2k+1,
que pertence a X, e verificar
f(x) = f(2k+1) = (2k+1)-2 = 2k-1 = y
Assim todo yin I tem um xin X com f(x)=y, e f é sobrejetora.

Resposta

Tomando
X = 3,5,7,9,dots e fcolon Xto I,;f(x)=x-2,
obtemos uma bijeção entre o subconjunto próprio X de I e o próprio I.

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