Considere os seguintes subconjuntos de
.
conjuntos dos números pares,
o conjunto dos números ímpares e
o conjunto dos números primos. Construa uma bijeção entre:
um subconjunto próprio de
e
.
um subconjunto próprio de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existe uma bijeção entre um subconjunto próprio de
(os ímpares) e
em si. Na prática, vamos escolher um
e construir
que seja injetora e sobrejetora.
Passo 2
Escolhemos
e reescrevemos generically cada elemento de
como
Definimos então
Passo 3
Mostramos que
é injetora. Suponha
Então
Logo
é injetora.
Passo 4
Mostramos que
é sobrejetora. Seja
. Então
é um ímpar qualquer, digamos
Basta escolher
que pertence a
, e verificar
Assim todo
tem um
com
, e
é sobrejetora.
Resposta
Tomando
obtemos uma bijeção entre o subconjunto próprio
de
e o próprio
.