Considere os seguintes subespaços: V=\left\{\left[\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z \\\ w\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4} \left\lvert\, \begin{array}{l}2 x-3 y+2 z+3 w=0 \\\ x-2 y+w=0 \\\ y-z=0\end{array}\right.\right\} e W= \left\{\left.\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z \\\ w\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{4} \right\rvert\, 5 x+2 y-3 z-w=0\right\}. Determine a dimensão dos subespaços V \cap W \mathrm{e} V+W, e justifique se a soma V+W é direta ou não:
Solução: Para determinar as dimensão pedidas é necessário encontrar a dimensão de V e de W também:
Em V:\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y+2 z+3 w=0 \\\ x-2 y+w=0 \\\ y-z=0\end{array}\right. Então z=y, w=-3 y e x=5 y. Assim, V= \operatorname{ger}\left\{\left.\left[\begin{array}{c}5 y \\\ y \\\ y \\\\ -3 y\end{array}\right] \right\rvert\, y \in \mathbb{R}\right\}. Como o vetor \left[\begin{array}{c}5 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -3\end{array}\right] não é o vetor não nulo temos que \left\{\left[\begin{array}{c}5 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -3\end{array}\right]\right\} é um conjunto LI. Assim, \left\{\left[\begin{array}{c}5 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -3\end{array}\right]\right\} é uma base de V e \operatorname{dim} V=1.
Em W temos apenas a equação 5 x+2 y-3 z-w=0, então w=5 x+2 y-3 z e W= \left\{\left.\left[\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z \\\\ 5 x+2 y-3 z\end{array}\right] \right\rvert\, x, y, z \in \mathbb{R}\right\}=\operatorname{ger}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ -3\end{array}\right]\right\}.
Vejamos que \left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ -3\end{array}\right]\right\} é LI:
Fazendo a combinação linear nula: a\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right] \therefore\left[\begin{array}{c}a \\\ b \\\ c \\\\ 5 a+2 b-3 c\end{array}\right]= \left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]. Logo, a=0, b=0 e c=0, e portanto, \left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ -3\end{array}\right]\right\} é LI e \operatorname{dim} W=3
Em V \cap W : Vamos substituir as coordenadas de V na equação de W: 5.5 y+2 y-3 y-
(-3 y)=0 \therefore 27 y=0 \therefore y=0. Assim, V \cap W=\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right. e \operatorname{dim}(V \cap W)=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a dimensão de V\cap W e de V+W e justificar se a soma V+W é direta ou não. As informações dadas são os subespaços de \mathbb{R}^4
V=\left\{\left.\begin{bmatrix}x\y\z\w\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^4\\ \right|\\ \begin{array}{l} 2x-3y+2z+3w=0,\\[4pt] x-2y+w=0,\\[4pt] y-z=0 \end{array}\right\}
e
W=\left\{\left.\begin{bmatrix}x\y\z\w\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^4\\ \right|\\\ 5x+2y-3z-w=0\right\}.
Vou encontrar bases e dimensões de V e W, depois V\cap W e V+W, e por fim decidir se a soma é direta.]

Passo 2

Resolvendo o sistema que define V. Das equações de V temos:
a) da terceira equação y-z=0 obtemos \;z=y.
b) da segunda equação x-2y+w=0 obtemos \;w=2y-x.
c) substituindo z=y e w=2y-x na primeira equação 2x-3y+2z+3w=0 dá:
2x-3y+2y+3(2y-x)=0.
Calculo passo a passo:
2x-3y+2y+6y-3x = (2x-3x)+(-3y+2y+6y)= -x+5y.
Logo -x+5y=0, ou seja \;x=5y.
Com x=5y achamos w=2y-x=2y-5y=-3y.
Portanto todo vetor de V tem a forma
\begin{bmatrix}x\y\z\w\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}5y\y\y\\\ -3y\end{bmatrix}=y\begin{bmatrix}5\\\ 1\\\ 1\\\ -3\end{bmatrix},\quad y\in\mathbb{R}.

Passo 3

Interpretação e base de V. Vimos que V é o conjunto dos múltiplos do vetor \begin{bmatrix}5\\\ 1\\\ 1\\\ -3\end{bmatrix}. Esse vetor não é o vetor nulo, então o conjunto \left\{\begin{bmatrix}5\\\ 1\\\ 1\\\ -3\end{bmatrix}\right\} é linearmente independente e gera V. Assim uma base de V é \left\{\begin{bmatrix}5\\\ 1\\\ 1\\\ -3\end{bmatrix}\right\} e
\dim V = 1.

Passo 4

Parametrização e dimensão de W. A equação de W é 5x+2y-3z-w=0, que se rearranja para
w = 5x+2y-3z.
Tomando x,y,z livres, qualquer vetor de W pode ser escrito como
\begin{bmatrix}x\y\z\w\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x\y\z\\\ 5x+2y-3z\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 5\end{bmatrix}+ y\begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 2\end{bmatrix}+ z\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ -3\end{bmatrix}.
Logo W é gerado pelos vetores \begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 5\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ -3\end{bmatrix}.

Passo 5

Verificação de independência linear dos geradores de W\). Suponha que existam escalares \(a,b,c\) tais que \[a\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 5\end{bmatrix}+ b\begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 2\end{bmatrix}+ c\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ -3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}.
Isso dá o sistema pelas componentes:
\begin{cases} a=0,\\[4pt] b=0,\\[4pt] c=0,\\[4pt] 5a+2b-3c=0. \end{cases}
Das três primeiras equações vem imediatamente a=0,\\ b=0,\\ c=0\]. Portanto os três vetores são linearmente independentes, formam uma base de \(W e
\dim W = 3.]

Passo 6

Encontrando V\cap W. Um vetor v\in V tem a forma v=y\begin{bmatrix}5\\\ 1\\\ 1\\\ -3\end{bmatrix}. Para que v\in W ele deve satisfazer a equação de W. Substituindo as componentes de v em 5x+2y-3z-w=0 (aqui tomo cuidado: o x,y,z,w da equação de W são as coordenadas do vetor) obtemos:
5\cdot(5y)+2\cdot(y)-3\cdot(y)-\bigl(-3y\bigr)=0.
Calculando os termos:
25y+2y-3y+3y = (25+2-3+3)y = 27y.
Logo 27y=0, o que implica y=0. Portanto o único vetor comum é o vetor nulo, isto é
V\cap W = \{0\}.
Isso significa
\dim(V\cap W)=0.

Passo 7

Dimensão de V+W. Usamos a fórmula de Grassmann (fórmula dimensão para soma de subespaços):
\dim(V+W)=\dim V + \dim W - \dim(V\cap W).
Substituindo os valores que já achamos:
\dim(V+W)=1+3-0=4.
Como \mathbb{R}^4 tem dimensão 4, segue que V+W=\mathbb{R}^4.

Passo 8

A soma é direta? Definição: a soma V+W é direta (escreve-se V\oplus W) se e somente se V\cap W=\{0\}. Encontramos V\cap W=\{0\}, portanto a soma é direta. Como além disso \dim(V+W)=4 e o espaço ambiente é \mathbb{R}^4, concluímos que
V\oplus W = \mathbb{R}^4.
Força aí — estava tudo certinho: V é uma reta, W é um hiperplano de dimensão 3, eles se cruzam só no zero, então juntos geram todo \mathbb{R}^4.

Resposta

\dim(V\cap W)=0
\dim(V+W)=4
A soma V+W é direta (ou seja, V\oplus W=\mathbb{R}^4).

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