Consideremos no espaço P_{2}=\left\{a t^{2}+b t+c / a, b, c \in \mathbb{R}\right\} os vetores p_{1}=t^{2} p_{2}=t+2 e p_{3}=2 t^{2}-t.
Escrever o vetor p=5 t^{2}-5 t+7 como combinação linear de p_{1}, p_{2} e p_{3}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço de polinômios \,P_{2}=\{a t^{2}+b t+c \mid a,b,c\in\mathbb{R}\}\, e os vetores (polinômios)
\;p_{1}=t^{2},\;p_{2}=t+2,\;p_{3}=2t^{2}-t\;.
Pede para escrever o polinômio \;p=5t^{2}-5t+7\; como combinação linear de \;p_{1},p_{2},p_{3}\;, ou seja, encontrar escalares \;\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\; tais que
p=\alpha p_{1}+\beta p_{2}+\gamma p_{3}.

Passo 2

Explicação do método (passo a passo e por que funciona). Quando combinamos polinômios por soma e multiplicação por escalares, as coeficientes de t^{2}, t e termo constante de ambos os lados da igualdade devem coincidir. Então basta escrever a combinação linear, agrupar os termos em t^{2}, t e constante, e igualar coeficiente a coeficiente. Isso transforma o problema em um sistema linear simples para \alpha,\beta,\gamma.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear pedida:
\alpha p_{1}+\beta p_{2}+\gamma p_{3} =\alpha (t^{2})+\beta (t+2)+\gamma (2t^{2}-t).

Passo 4

Agora vamos expandir e agrupar termos semelhantes (coeficientes de t^{2}, t e termo constante). Desenvolvendo:
\alpha t^{2}+\beta t+2\beta+\gamma(2t^{2})-\gamma t =(\alpha+2\gamma)t^{2}+(\beta-\gamma)t+2\beta.

Passo 5

Igualamos os coeficientes desse polinômio com os coeficientes de \;p=5t^{2}-5t+7\;. Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} \alpha+2\gamma=5,\\[4pt] \beta-\gamma=-5,\\[4pt] 2\beta=7. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema passo a passo. Da terceira equação temos:
2\beta=7 \;\Rightarrow\; \beta=\frac{7}{2}.

Passo 7

Usando o \beta na segunda equação:
\beta-\gamma=-5 \;\Rightarrow\; \frac{7}{2}-\gamma=-5.
Resolvendo para \gamma:
-\gamma=-5-\frac{7}{2}=-\frac{10}{2}-\frac{7}{2}=-\frac{17}{2} \;\Rightarrow\; \gamma=\frac{17}{2}.

Passo 8

Agora usamos \gamma na primeira equação para encontrar \alpha:
\alpha+2\gamma=5 \;\Rightarrow\; \alpha+2\cdot\frac{17}{2}=5 \;\Rightarrow\; \alpha+17=5 \;\Rightarrow\; \alpha=5-17=-12.

Passo 9

Opcional — checagem rápida substituindo os coeficientes encontrados na combinação:
-12\,p_{1}+\frac{7}{2}\,p_{2}+\frac{17}{2}\,p_{3} =-12t^{2}+\frac{7}{2}(t+2)+\frac{17}{2}(2t^{2}-t).
Calculando os termos:
-12t^{2}+\frac{7}{2}t+7+\frac{17}{2}\cdot 2t^{2}-\frac{17}{2}t =(-12+17)t^{2}+\left(\frac{7}{2}-\frac{17}{2}\right)t+7 =5t^{2}-5t+7,
que é exatamente p. Está correto!

Resposta

p=-12\,p_{1}+\frac{7}{2}\,p_{2}+\frac{17}{2}\,p_{3}

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