Consideremos no espaço P_{2}=\left\{a t^{2}+b t+c / a, b, c \in \mathbb{R}\right\} os vetores p_{1}=t^{2}p_{2}=t+2 e p_{3}=2 t^{2}-t.
Escrever o vetor p=5 t^{2}-5 t+7 como combinação linear de p_{1}, p_{2} e p_{3}.
Passo 1
O enunciado dá o espaço de polinômios \,P_{2}=\{a t^{2}+b t+c \mid a,b,c\in\mathbb{R}\}\, e os vetores (polinômios) \;p_{1}=t^{2},\;p_{2}=t+2,\;p_{3}=2t^{2}-t\;.
Pede para escrever o polinômio \;p=5t^{2}-5t+7\; como combinação linear de \;p_{1},p_{2},p_{3}\;, ou seja, encontrar escalares \;\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\; tais que
p=\alpha p_{1}+\beta p_{2}+\gamma p_{3}.
Passo 2
Explicação do método (passo a passo e por que funciona). Quando combinamos polinômios por soma e multiplicação por escalares, as coeficientes de t^{2}, t e termo constante de ambos os lados da igualdade devem coincidir. Então basta escrever a combinação linear, agrupar os termos em t^{2}, t e constante, e igualar coeficiente a coeficiente. Isso transforma o problema em um sistema linear simples para \alpha,\beta,\gamma.