Verifique quais dos conjuntos dados abaixo com as respectivas operações são ou não espaços vetoriais.
E=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=f(-x)\} operações usuais de funções;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto E=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\;;\;f(x)=f(-x)\}, com as operações usuais de funções (adição ponto a ponto e multiplicação por escalar real), é ou não um espaço vetorial.
Informações dadas:
  • O conjunto E contém todas as funções f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfazem a propriedade f(x)=f(-x) para todo x\in\mathbb{R} (ou seja, funções pares).
  • As operações são as usuais: para f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e \alpha\in\mathbb{R},
(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (\alpha f)(x)=\alpha\cdot f(x).
Pergunta a responder: o conjunto E com essas operações é um espaço vetorial (sobre \mathbb{R})?

Passo 2

O que precisamos checar (aulas rápidas, passo a passo):
  • Definição curta de espaço vetorial: um conjunto com duas operações (adição e multiplicação por escalar) que satisfaz um conjunto de axiomas (associatividade e comutatividade da adição, existência do vetor zero, existência de inversos aditivos, distributividade, etc.). Em muitos problemas práticos é mais simples usar o seguinte critério: se V é um espaço vetorial e W\subseteq V, então W é subespaço (logo espaço vetorial) se e somente se W for não-vazio e fechado por soma e por multiplicação escalar. Explico cada termo:
    • “Não-vazio”: há pelo menos um elemento em W.
    • “Fechado por soma”: para quaisquer f,g\in W, tem-se f+g\in W.
    • “Fechado por multiplicação escalar”: para qualquer \alpha\in\mathbb{R} e f\in W, tem-se \alpha f\in W.
  • Por que isso basta? Porque os outros axiomas (associatividade, comutatividade, existência de zero e inversos, distributividades) já valem no espaço maior V (o espaço de todas as funções \mathbb{R}\to\mathbb{R} com operações ponto a ponto), e se W é fechado e contém o zero então herda esses axiomas automaticamente.

Passo 3

Verificar que o espaço maior V existe e que conhecemos suas operações: o conjunto de todas as funções \mathbb{R}\to\mathbb{R}, com adição e multiplicação por escalar ponto a ponto, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Não preciso demonstrar todos os axiomas desse espaço aqui, apenas usar que ele é um espaço vetorial conhecido — isso permite aplicar o critério de subespaço do Passo 2.

Passo 4

Mostrar que E é não-vazio: considere a função zero 0:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por 0(x)=0 para todo x. Verificamos se 0\in E: para todo x\in\mathbb{R},
0(-x)=0=0(x).
Portanto a função zero é par e 0\in E. Assim E não é vazio.

Passo 5

Fechamento por soma (explicação detalhada e didática): pegue f,g\in E. Isso significa, por definição de E, que para todo x\in\mathbb{R}
f(-x)=f(x)\quad\text{e}\quad g(-x)=g(x).
Agora calculamos a soma ponto a ponto e verificamos a paridade:
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x).
Usando que f(-x)=f(x) e g(-x)=g(x) obtemos
(f+g)(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x).
Logo (f+g) também satisfaz a condição de ser par, isto é, f+g\in E. Conclusão: E é fechado por soma.

Passo 6

Fechamento por multiplicação escalar (explicação detalhada): pegue \alpha\in\mathbb{R} e f\in E. Como f é par, f(-x)=f(x) para todo x. Então
(\alpha f)(-x)=\alpha\cdot f(-x)=\alpha\cdot f(x)=(\alpha f)(x).
Portanto \alpha f também é par, isto é, \alpha f\in E. Conclusão: E é fechado por multiplicação escalar.

Passo 7

Conclusão final do raciocínio: visto que E é não-vazio (contém a função zero), fechado por soma e fechado por multiplicação escalar, então E é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções \mathbb{R}\to\mathbb{R}. Como subespaço, E é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Observação prática: não precisamos verificar todos os axiomas do zero — eles são herdados do espaço maior.

Passo 8

Exemplos para fixar a ideia (rápido e útil para a prova):
  • Função que pertence a E: f(x)=x^2. Verifique: f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x).
  • Outra função em E: g(x)=\cos x, pois \cos(-x)=\cos x.
  • Exemplo que não pertence: h(x)=x (função ímpar), porque h(-x)=-x\neq x para x\neq 0. Esses exemplos ajudam a entender o que é ser par e a visualizar a propriedade de fechamento.

Resposta

E é um espaço vetorial (é subespaço do espaço de todas as funções \mathbb{R}\to\mathbb{R}).

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