Verifique quais dos conjuntos dados abaixo com as respectivas operações são ou não espaços vetoriais.
operações usuais de funções;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
, com as operações usuais de funções (adição ponto a ponto e multiplicação por escalar real), é ou não um espaço vetorial.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O conjunto
contém todas as funções que satisfazem a propriedade para todo (ou seja, funções pares). - As operações são as usuais: para
e ,
Pergunta a responder: o conjunto
com essas operações é um espaço vetorial (sobre
)?
Passo 2
O que precisamos checar (aulas rápidas, passo a passo):
- Definição curta de espaço vetorial: um conjunto com duas operações (adição e multiplicação por escalar) que satisfaz um conjunto de axiomas (associatividade e comutatividade da adição, existência do vetor zero, existência de inversos aditivos, distributividade, etc.). Em muitos problemas práticos é mais simples usar o seguinte critério: se
é um espaço vetorial e , então é subespaço (logo espaço vetorial) se e somente se for não-vazio e fechado por soma e por multiplicação escalar. Explico cada termo: - “Não-vazio”: há pelo menos um elemento em
. - “Fechado por soma”: para quaisquer
, tem-se . - “Fechado por multiplicação escalar”: para qualquer
e , tem-se .
- “Não-vazio”: há pelo menos um elemento em
- Por que isso basta? Porque os outros axiomas (associatividade, comutatividade, existência de zero e inversos, distributividades) já valem no espaço maior
(o espaço de todas as funções com operações ponto a ponto), e se é fechado e contém o zero então herda esses axiomas automaticamente.
Passo 3
Verificar que o espaço maior
existe e que conhecemos suas operações: o conjunto de todas as funções
, com adição e multiplicação por escalar ponto a ponto, é um espaço vetorial sobre
. Não preciso demonstrar todos os axiomas desse espaço aqui, apenas usar que ele é um espaço vetorial conhecido — isso permite aplicar o critério de subespaço do Passo 2.
Passo 4
Mostrar que
é não-vazio: considere a função zero
definida por
para todo
. Verificamos se
: para todo
,
Portanto a função zero é par e
. Assim
não é vazio.
Passo 5
Fechamento por soma (explicação detalhada e didática): pegue
. Isso significa, por definição de
, que para todo
Agora calculamos a soma ponto a ponto e verificamos a paridade:
Usando que
e
obtemos
Logo
também satisfaz a condição de ser par, isto é,
. Conclusão:
é fechado por soma.
Passo 6
Fechamento por multiplicação escalar (explicação detalhada): pegue
e
. Como
é par,
para todo
. Então
Portanto
também é par, isto é,
. Conclusão:
é fechado por multiplicação escalar.
Passo 7
Conclusão final do raciocínio: visto que
é não-vazio (contém a função zero), fechado por soma e fechado por multiplicação escalar, então
é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções
. Como subespaço,
é um espaço vetorial sobre
. Observação prática: não precisamos verificar todos os axiomas do zero — eles são herdados do espaço maior.
Passo 8
Exemplos para fixar a ideia (rápido e útil para a prova):
- Função que pertence a
: . Verifique: . - Outra função em
: , pois . - Exemplo que não pertence:
(função ímpar), porque para . Esses exemplos ajudam a entender o que é ser par e a visualizar a propriedade de fechamento.