Verifique quais dos conjuntos dados abaixo são ou não subespaços vetoriais.
O conjunto (matrizes quadradas simétricas);
O conjunto (matrizes quadradas simétricas);
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos, para dois conjuntos dados, se cada um é ou não um subespaço vetorial. Os conjuntos são:
- o conjunto das matrizes quadradas simétricas (assumo matrizes
sobre um corpo, por exemplo ); -
, onde é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a e é uma matriz fixa (assumo que a notação significa avaliar o polinômio na matriz ).
As informações relevantes dadas são, portanto: - definição do primeiro conjunto: todas as matrizes
tais que ; - definição do segundo conjunto: todos os polinômios
que, quando avaliados em , produzem a matriz nula, isto é .
Passo 2
O que é preciso provar para mostrar que um conjunto
é subespaço de um espaço vetorial
? Vou explicar a regra prática e fácil de usar (sem pular etapas):
- Primeiro,
deve ser não vazio; normalmente mostramos que o vetor zero de pertence a . - Segundo,
deve ser fechado sob adição: se e , então . - Terceiro,
deve ser fechado sob multiplicação escalar: se e é escalar (do corpo), então .
Se essas três propriedades valem,
é subespaço. Vou aplicar essas condições aos dois conjuntos, passo a passo.
Passo 3
Aplicando ao conjunto das matrizes quadradas simétricas. Definição e objetivo: o conjunto é
Mostramos as três propriedades:
-
Zero: a matriz nula
satisfaz , logo . Isso garante que não é vazio. -
Fechamento por adição: tomemos
. Então e . Temos
portanto
também é simétrica, isto é
.
- Fechamento por multiplicação escalar: seja
um escalar. Para ,
logo
.
Como as três propriedades valem, concluímos que o conjunto das matrizes quadradas simétricas é um subespaço vetorial de
.
(Dica prática para a prova: ao ver uma propriedade do tipo
, use as propriedades da transposição:
e
.)
Passo 4
Resultado parcial: o primeiro conjunto (matrizes simétricas) é subespaço. Vou agora tratar o conjunto
.
Passo 5
Interpretação de
e propriedades úteis. Se
é um polinômio, então avaliar o polinômio na matriz
significa
onde
é a matriz identidade e
são potências matriciais. A avaliação é linear: para polinômios
e escalar
,
Vou usar exatamente essa linearidade para mostrar as propriedades de subespaço para
Passo 6
Verificando as três propriedades para
:
-
Zero: o polinômio zero
satisfaz (a soma vazia de potências dá a matriz nula). Logo . (Importante: isso depende de considerar incluindo o polinômio zero, como é padrão.) -
Fechamento por adição: sejam
. Então e . Usando a linearidade da avaliação,
Portanto
.
- Fechamento por multiplicação escalar: seja
um escalar e . Então
Logo
.
Como
contém
e é fechado por soma e multiplicação escalar,
é subespaço de
.
Observação prática: a propriedade essencial usada é que a avaliação
é uma transformação linear de
em
; o conjunto
é exatamente o núcleo (kernel) dessa transformação, e o núcleo de uma transformação linear é sempre um subespaço.
Passo 7
Comentário sobre ambiguidade possível da notação: se a notação do enunciado
tivesse a intenção de excluir o polinômio zero (por exemplo, significando “polinômios não nulos”), então o conjunto descrito não poderia ser subespaço porque não conteria o vetor zero. Mas adotando a interpretação padrão
(com
contendo o polinômio zero), a argumentação acima mostra que
é subespaço.
Resposta
O conjunto das matrizes quadradas simétricas é um subespaço vetorial.