Verifique quais dos conjuntos dados abaixo são ou não subespaços vetoriais.
O conjunto (matrizes quadradas simétricas);
S=\left\{p(x) \in P_{n}^{*}(x) \subset P_{n}(x) ; p(X)=0\right\} ;

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos, para dois conjuntos dados, se cada um é ou não um subespaço vetorial. Os conjuntos são:
  • o conjunto das matrizes quadradas simétricas (assumo matrizes n\times n sobre um corpo, por exemplo \mathbb{R});
  • S=\{\,p(x)\in P_n(x)\mid p(X)=0\,\}, onde P_n(x) é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n e X é uma matriz fixa (assumo que a notação significa avaliar o polinômio na matriz X).
    As informações relevantes dadas são, portanto:
  • definição do primeiro conjunto: todas as matrizes A tais que A^T=A;
  • definição do segundo conjunto: todos os polinômios p\in P_n que, quando avaliados em X, produzem a matriz nula, isto é p(X)=0.

Passo 2

O que é preciso provar para mostrar que um conjunto W é subespaço de um espaço vetorial V? Vou explicar a regra prática e fácil de usar (sem pular etapas):
  • Primeiro, W deve ser não vazio; normalmente mostramos que o vetor zero de V pertence a W.
  • Segundo, W deve ser fechado sob adição: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  • Terceiro, W deve ser fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \alpha é escalar (do corpo), então \alpha u\in W.
Se essas três propriedades valem, W é subespaço. Vou aplicar essas condições aos dois conjuntos, passo a passo.

Passo 3

Aplicando ao conjunto das matrizes quadradas simétricas. Definição e objetivo: o conjunto é
\mathcal{S}=\{A\in M_{n\times n} \mid A^T=A\}.
Mostramos as três propriedades:
  1. Zero: a matriz nula 0 satisfaz 0^T=0, logo 0\in\mathcal{S}. Isso garante que \mathcal{S} não é vazio.
  2. Fechamento por adição: tomemos A,B\in\mathcal{S}. Então A^T=A e B^T=B. Temos
(A+B)^T = A^T + B^T = A + B,
portanto A+B também é simétrica, isto é A+B\in\mathcal{S}.
  1. Fechamento por multiplicação escalar: seja \alpha um escalar. Para A\in\mathcal{S},
(\alpha A)^T = \alpha A^T = \alpha A,
logo \alpha A\in\mathcal{S}.
Como as três propriedades valem, concluímos que o conjunto das matrizes quadradas simétricas é um subespaço vetorial de M_{n\times n}.
(Dica prática para a prova: ao ver uma propriedade do tipo A^T=A, use as propriedades da transposição: (A+B)^T=A^T+B^T e (\alpha A)^T=\alpha A^T.)

Passo 4

Resultado parcial: o primeiro conjunto (matrizes simétricas) é subespaço. Vou agora tratar o conjunto S.

Passo 5

Interpretação de p(X)=0 e propriedades úteis. Se p(x)=\sum_{k=0}^m a_k x^k é um polinômio, então avaliar o polinômio na matriz X significa
p(X)=\sum_{k=0}^m a_k X^k,
onde X^0 é a matriz identidade e X^k são potências matriciais. A avaliação é linear: para polinômios p,q e escalar \alpha,
(p+q)(X)=p(X)+q(X),\qquad (\alpha p)(X)=\alpha\,p(X).
Vou usar exatamente essa linearidade para mostrar as propriedades de subespaço para
S=\{\,p\in P_n \mid p(X)=0\,\}.

Passo 6

Verificando as três propriedades para S:
  1. Zero: o polinômio zero 0\in P_n satisfaz 0(X)=0 (a soma vazia de potências dá a matriz nula). Logo 0\in S. (Importante: isso depende de considerar P_n incluindo o polinômio zero, como é padrão.)
  2. Fechamento por adição: sejam p,q\in S. Então p(X)=0 e q(X)=0. Usando a linearidade da avaliação,
(p+q)(X)=p(X)+q(X)=0+0=0.
Portanto p+q\in S.
  1. Fechamento por multiplicação escalar: seja \alpha um escalar e p\in S. Então
(\alpha p)(X)=\alpha\,p(X)=\alpha\cdot 0=0.
Logo \alpha p\in S.
Como S contém 0 e é fechado por soma e multiplicação escalar, S é subespaço de P_n.
Observação prática: a propriedade essencial usada é que a avaliação p\mapsto p(X) é uma transformação linear de P_n em M_{n\times n}; o conjunto S é exatamente o núcleo (kernel) dessa transformação, e o núcleo de uma transformação linear é sempre um subespaço.

Passo 7

Comentário sobre ambiguidade possível da notação: se a notação do enunciado P_n^*(x) tivesse a intenção de excluir o polinômio zero (por exemplo, significando “polinômios não nulos”), então o conjunto descrito não poderia ser subespaço porque não conteria o vetor zero. Mas adotando a interpretação padrão S=\{p\in P_n\mid p(X)=0\} (com P_n contendo o polinômio zero), a argumentação acima mostra que S é subespaço.

Resposta

O conjunto das matrizes quadradas simétricas é um subespaço vetorial.
S=\{\,p(x)\in P_n(x)\mid p(X)=0\,\} é um subespaço vetorial.

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