Considere os seguintes subespaços vetoriais de P_{3}(\mathbb{R}) :
V=\left\{p \in P_{3}(\mathbb{R}) \mid p(1)+p(-1)=0\right\}, \quad W=\left\{p \in P_{3}(\mathbb{R}) \mid p^{\prime}(1)=0\right\}
Calcule a dimensão de V \cap W.

Passo 1

O enunciado fala de P_{3}(\mathbb{R}), o espaço de polinômios de grau <=3 (dimensão 4), e define
V=\{p\in P_{3}(\mathbb{R})\mid p(1)+p(-1)=0\},
W=\{p\in P_{3}(\mathbb{R})\mid p'(1)=0\}.
Queremos \dim(V\cap W). Vamos escrever um polinômio genérico e impor as duas condições.

Passo 2

Seja
p(x)=ax^3+bx^2+cx+d,
com a,b,c,d\in\mathbb{R}. Esse parâmetroção mostra que \dim P_{3}(\mathbb{R})=4.

Passo 3

Impondo a condição de V:
p(1)+p(-1)=0.
Calculamos
p(1)=a+b+c+d, \quad p(-1)=-a+b-c+d,
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p(1)+p(-1)=2b+2d=0 \quad\Longrightarrow\quad b+d=0 \quad\Longrightarrow\quad d=-b.

Passo 4

Impondo a condição de W:
p'(1)=0.
Como
p'(x)=3ax^2+2bx+c,
temos
p'(1)=3a+2b+c=0 \quad\Longrightarrow\quad c=-3a-2b.

Passo 5

Juntando ambas condições, d=-b e c=-3a-2b. O polinômio fica
p(x)=a\,x^3 + b\,x^2 +(-3a-2b)\,x +(-b),
onde a e b são livres. Logo restam 2 graus de liberdade.

Resposta

\dim(V\cap W)=2.

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