Considere os seguintes subespaços de
:
.
Assinale a alternativa que contém uma afirmação falsa.
(a)
.
(b)
.
(c) O conjunto
é um subespaço de
.
(d)
.
(e)
.
Assinale a alternativa que contém uma afirmação falsa.
(a)
(b)
(c) O conjunto
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
Queremos verificar dimensões e propriedades de soma, interseção e união desses subespaços.
Passo 2
Para achar
, notamos que
é descrito por uma única equação linear homogênea em
. Logo é um plano passando pela origem, e
Passo 3
O subespaço
é o conjunto de todos os vetores da forma
. Como essa forma depende de um único parâmetro
, temos
Passo 4
Para
, impondo simultaneamente
só satisfaz
. Logo
e
Passo 5
Usando a fórmula de Grassmann para a soma, com
,
e
, obtemos
Passo 6
A união
só seria subespaço se um contivesse o outro. Mas
não está contido em
(exceto na origem), logo
não é fechado sob soma de vetores.
Resposta
A alternativa falsa é a (c): o conjunto
não é um subespaço de
.