Considere os seguintes subespaços de \mathbb{R}^{3} :
U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-y+z=0\right\}, \quad W=\{(x,-x, x) \mid x \in \mathbb{R}\}.
Assinale a alternativa que contém uma afirmação falsa.
(a) \operatorname{dim}(U+W)=3.
(b) \operatorname{dim}(W)=1.
(c) O conjunto U \cup W é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
(d) \operatorname{dim}(U)=2.
(e) \operatorname{dim}(U \cap W)=0.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^3:
U = \{(x,y,z)\mid x - y + z = 0\},
W = \{(x,-x,x)\mid x\in\mathbb{R}\}.
Queremos verificar dimensões e propriedades de soma, interseção e união desses subespaços.

Passo 2

Para achar \dim(U), notamos que U é descrito por uma única equação linear homogênea em \mathbb{R}^3. Logo é um plano passando pela origem, e
\dim(U) = 3 - 1 = 2.

Passo 3

O subespaço W é o conjunto de todos os vetores da forma (x,-x,x). Como essa forma depende de um único parâmetro x, temos
\dim(W) = 1.

Passo 4

Para \dim(U\cap W), impondo simultaneamente
(x,-x,x)\in U \quad\Longrightarrow\quad x - (-x) + x = 3x = 0
só satisfaz x=0. Logo
U\cap W = \{(0,0,0)\},
e
\dim(U\cap W) = 0.

Passo 5

Usando a fórmula de Grassmann para a soma, com \dim(U)=2, \dim(W)=1 e \dim(U\cap W)=0, obtemos
\dim(U+W) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U\cap W) = 2 + 1 - 0 = 3.

Passo 6

A união U\cup W só seria subespaço se um contivesse o outro. Mas W não está contido em U (exceto na origem), logo U\cup W não é fechado sob soma de vetores.

Resposta

A alternativa falsa é a (c): o conjunto U\cup W não é um subespaço de \mathbb{R}^3.

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