Considere os seguintes subespaços vetoriais da M_{3}(\mathbb{R}) :
S=\left\{A \in M_{3}(\mathbb{R}) \mid A=A^{t}\right\} e T=\left\{A \in M_{3}(\mathbb{R}) \mid \operatorname{tr}(A)=0\right\}, em que A^{t} denota a matriz transposta de A e \operatorname{tr}(A) denota o traço de A. Calcule a dimensão de S \cap T.

Passo 1

O enunciado define os subespaços S=\{A\in M_{3}(\mathbb{R})\mid A=A^{t}\} e T=\{A\in M_{3}(\mathbb{R})\mid \tr(A)=0\},
e pede \dim(S\cap T). Vamos usar noções de dimensão de subespaços e contar graus de liberdade das restrições lineares envolvidas.

Passo 2

Para achar \dim(S), basta contar as entradas livres de uma matriz simétrica 3\times3: há 3 entradas na diagonal e \frac{3\cdot2}{2}=3 entradas acima da diagonal (cada uma se repete abaixo). Logo
\dim(S)=3+3=6.

Passo 3

O espaço S\cap T consiste em matrizes simétricas que ainda satisfazem a única condição linear \tr(A)=0. Em S, a equação \tr(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}=0 é não trivial e reduz em uma unidade a dimensão do espaço.

Passo 4

Portanto
\dim(S\cap T)=\dim(S)-1=6-1=5.

Resposta

A dimensão de S\cap T é 5.

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