Em \mathbb{R}^{3}, sejam S_{1}=[(1,0,-1),(1,2,1)] e S_{2}=[(1,1,1),(1,0,0)].
(i) Determine S_{1}+S_{2}.
(ii) Ache uma base e a dimensão de S_{1} \cap S_{2}.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de \mathbb{R}^{3}:
S_{1} = \Span\{(1,0,-1),\,(1,2,1)\}, \qquad S_{2} = \Span\{(1,1,1),\,(1,0,0)\}.
Pede-se (i) a soma S_{1}+S_{2} e (ii) uma base e a dimensão de S_{1}\cap S_{2}. Vamos usar teoria de soma e interseção de subespaços, cálculo de posto de matrizes e a fórmula
\dim(S_{1}\cap S_{2}) = \dim S_{1} + \dim S_{2} - \dim(S_{1}+S_{2}).

Passo 2

Para achar S_{1}+S_{2} notamos que
S_{1}+S_{2} = \Span\{(1,0,-1),\,(1,2,1),\,(1,1,1),\,(1,0,0)\}.
Basta verificar se três desses vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^3. Considere a matriz cujas colunas são os três primeiros vetores:
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[6pt] 0 & 2 & 1 \\[6pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O seu determinante é
\det M = 1\cdot\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}0 & 1\\\ -1 & 1\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}0 & 2\\\ -1 & 1\end{vmatrix} =1\cdot(2-1)-1\cdot(0+1)+1\cdot(0+2) =1-1+2=2\neq0.
Como o determinante é não nulo, esses três vetores são independentes e geram \mathbb{R}^3. Logo
S_{1}+S_{2} = \mathbb{R}^{3}.]

Passo 3

Temos \dim S_{1}=2 e \dim S_{2}=2. Como S_{1}+S_{2}=\mathbb{R}^3 tem dimensão 3, pela fórmula
\dim(S_{1}\cap S_{2}) =2 + 2 - 3 =1.
Portanto S_{1}\cap S_{2} é uma reta.

Passo 4

Para achar um vetor não nulo em S_{1}\cap S_{2}\), resolvemos \[a(1,0,-1) + b(1,2,1) \;=\; c(1,1,1) + d(1,0,0).
Isto dá o sistema
\begin{cases} a + b = c + d,\\\\ 2b = c,\\\\ -\,a + b = c. \end{cases}
Da segunda e terceira equações vem c=2b\] e \(2b = -a + b, logo a=-b. Substituindo na primeira achamos d=-2b. Assim
a(1,0,-1)+b(1,2,1) = (-b)(1,0,-1) + b(1,2,1) = b\bigl((1,2,1)-(1,0,-1)\bigr) = b\,(0,2,2).
Então todo vetor de S_{1}\cap S_{2} é múltiplo de (0,2,2), isto é, de (0,1,1).

Resposta

(i) S_{1}+S_{2} = \mathbb{R}^{3}.
(ii) Uma base de S_{1}\cap S_{2} é \{(0,1,1)\} e \dim(S_{1}\cap S_{2})=1.

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