Dê um exemplo de três subespaços vetoriais não-triviais
e
de
tais que
, porém
e
.
Passo 1
Vamos construir três subespaços de
todos de dimensão
(planos que passam pela origem) de modo que:
- Cada par deles se intersecta numa mesma reta não-trivial.
- A soma de qualquer dois é todo
. - Os três planos sejam distintos.
Passo 2
Escolhemos como reta comum de interseção o eixo
, isto é,
Passo 3
Definimos o primeiro plano
como o plano
, isto é,
Passo 4
Definimos o segundo plano
como o plano
, ou seja,
Passo 5
Definimos o terceiro plano
passando também por
, mas distinto de
e
. Por exemplo,
Passo 6
Verificamos as interseções:
Passo 7
Verificamos as somas:
Para , como
Para
Analogamente,
Resposta
Um exemplo conveniente é
Então
e claramente
,
e
são planos distintos.