Dê um exemplo de três subespaços vetoriais não-triviais U, V e W de \mathbb{R}^{3} tais que U \cap V= U \cap W=V \cap W, U+V=U+W=V+W=\mathbb{R}^{3}, porém U \neq V, U \neq W e V \neq W.

Passo 1

Vamos construir três subespaços de \mathbb{R}^3 todos de dimensão 2 (planos que passam pela origem) de modo que:
  1. Cada par deles se intersecta numa mesma reta não-trivial.
  2. A soma de qualquer dois é todo \mathbb{R}^3.
  3. Os três planos sejam distintos.

Passo 2

Escolhemos como reta comum de interseção o eixo z, isto é,
L = \{(0,0,t)\mid t\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(0,0,1)\}.

Passo 3

Definimos o primeiro plano U como o plano xz, isto é,
U = \{(x,0,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(1,0,0),(0,0,1)\}.

Passo 4

Definimos o segundo plano V como o plano yz, ou seja,
V = \{(0,y,z)\mid y,z\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\}.

Passo 5

Definimos o terceiro plano W passando também por L, mas distinto de U e V. Por exemplo,
W = \mathrm{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\} = \{(s,s,t)\mid s,t\in\mathbb{R}\}.

Passo 6

Verificamos as interseções:
U\cap V = \mathrm{span}\{(0,0,1)\} = L,
U\cap W = \{(x,0,z)\mid (x,0,z)=(s,s,t)\} = \{(0,0,t)\} = L,
V\cap W = \{(0,y,z)\mid (0,y,z)=(s,s,t)\} = \{(0,0,t)\} = L.

Passo 7

Verificamos as somas:
Para U+V, como
U+V = \mathrm{span}\{(1,0,0),(0,0,1)\}\;+\;\mathrm{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\} = \mathrm{span}\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} = \mathbb{R}^3.
Analogamente,
U+W = \mathrm{span}\{(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)\}=\mathbb{R}^3,
V+W = \mathrm{span}\{(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0)\}=\mathbb{R}^3.

Resposta

Um exemplo conveniente é
U = \mathrm{span}\{(1,0,0),(0,0,1)\},\quad V = \mathrm{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\},\quad W = \mathrm{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\}.
Então
U\cap V = U\cap W = V\cap W = \mathrm{span}\{(0,0,1)\},
U+V = U+W = V+W = \mathbb{R}^3,
e claramente U, V e W são planos distintos.

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