Considere as seguintes transformações no mathbbR^3.
Mostre que a matriz da translação por um vetor (-a,-b,-c) é a inversa da matriz da translação por ( a, b, c ). O que isso significa?

Passo 1

O enunciado trata de translações em R^3 e quer que mostremos, usando matrizes em coordenadas homogêneas, que a translação por (-a,-b,-c) é a inversa da translação por (a,b,c). Para isso precisamos saber como representar uma translação em R^3 por matriz 4times4 e depois verificar que suas composições dão a matriz identidade.

Passo 2

A matriz da translação por (a,b,c) em coordenadas homogêneas é
T(a,b,c) ;=; 1 & 0 & 0 & a 0 & 1 & 0 & b 0 & 0 & 1 & c 0 & 0 & 0 & 1

Passo 3

De forma análoga, a translação por (-a,-b,-c) fica
T(-a,-b,-c) ;=; 1 & 0 & 0 & -a 0 & 1 & 0 & -b 0 & 0 & 1 & -c 0 & 0 & 0 & 1

Passo 4

Vamos calcular a composição T(a,b,c),T(-a,-b,-c). Pelo produto de matrizes obtemos
T(a,b,c),T(-a,-b,-c) = 1 & 0 & 0 & a 0 & 1 & 0 & b 0 & 0 & 1 & c 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & -a 0 & 1 & 0 & -b 0 & 0 & 1 & -c 0 & 0 & 0 & 1 = 1 & 0 & 0 & a + (-a) 0 & 1 & 0 & b + (-b) 0 & 0 & 1 & c + (-c) 0 & 0 & 0 & 1 = I4
De modo idêntico, T(-a,-b,-c),T(a,b,c)=I4. Portanto T(-a,-b,-c) é a matriz inversa de T(a,b,c).

Resposta

A matriz da translação por (-a,-b,-c) é de fato a inversa de T(a,b,c). Isso significa que, para “desfazer” uma translação de (a,b,c), basta aplicar em seguida a translação de (-a,-b,-c): o ponto volta à sua posição original.

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