Considere as transformações F: R^3 R^3, G: R^3 R^2, H: R^2 R^2 dadas por
F(x, y, z) & =(3 x-z, x+y, 3 x-2 z) G(x, y, z) & =(x+y, z) H(x, y) & =(x+y2, x-y2)
(a) Escreva as matrizes [F],[G] e [H] em relação às bases canônicas dos espaços envolvidos.
(b) Obtenha as matrizes das transformações compostas G circ F, F circ G, H circ G, F^2, G^2 e H^2. Se não for possível, justifique.
(c) Calcule (G circ F)(2,-3,4)
(d) Escreva uma expressão para (G circ F)(x, y, z).
(e) Calcule (H circ G)(-1,1).
(f) Escreva uma expressão para (H circ G)(x, y).

Passo 1

O enunciado dá três transformações lineares
Fcolon R^3toR^3, Gcolon R^3toR^2 e Hcolon R^2toR^2 definidas por
F(x,y,z)=(3x - z,;x+y,;3x-2z), G(x,y,z)=(x+y,;z), H(x,y)=l(tfracx+y2,;tfracx-y2r)
Precisamos:
  1. (a) as matrizes [F], [G], [H] nas bases canônicas;
  2. (b) as matrizes de Gcirc F, Fcirc G, Hcirc G, F^2, G^2, H^2 (ou justificar quando não der);
  3. (c–f) avaliar e escrever expressões para certas composições.

Passo 2

Matriz de F: colunas são F(e1),F(e2),F(e3).
[F]= 3 & 0 & -1 1 & 1 & 0 3 & 0 & -2
Matriz de G: colunas são G(e1),G(e2),G(e3).
[G]= 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Matriz de H: colunas são H(e1),H(e2).
[H]= 12 & 12 12 & -12

Passo 3

Calculemos as composições cujas dimensões batem, usando produto de matrizes:
[Gcirc F]=[G],[F] =1 & 1 & 00 & 0 & 1 3 & 0 & -11 & 1 & 03 & 0 & -2 =4 & 1 & -13 & 0 & -2
[Hcirc G]=[H],[G] =tfrac12 & tfrac12tfrac12 & -tfrac12 1 & 1 & 00 & 0 & 1 =tfrac12 & tfrac12 & tfrac12tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12
[F^2]=[F],[F] =6 & 0 & -14 & 1 & -13 & 0 & 1, [H^2]=[H],[H] =tfrac12 & 00 & tfrac12
Não é possível definir Fcirc G nem G^2 porque as dimensões não são compatíveis: G sai de R^3 e entra em R^2, logo não cabe aplicar F ou G logo a seguir.

Passo 4

Para (Gcirc F)(2,-3,4) usemos a matriz [Gcirc F]:
4 & 1 & -13 & 0 & -2 2-34 =1-2

Passo 5

Usando a definição, para (x,y,z)inR^3 temos
Gl(F(x,y,z)r) =G(3x-z,;x+y,;3x-2z) =(3x-z + x+y,;3x-2z) =(4x+y-z,;3x-2z)

Passo 6

Não dá para calcular (Hcirc G)(-1,1) nem escrever (Hcirc G)(x,y) porque G exige um vetor de R^3 como entrada e aí sobra informação — o enunciado pediu 2 coordenadas para G, o que é incompatível com seu domínio.

Resposta

(a) [F]=3&0&-11&1&03&0&-2,;[G]=1&1&00&0&1,;[H]=tfrac12&tfrac12tfrac12&-tfrac12.
(b) [Gcirc F]=4&1&-13&0&-2,;[Hcirc G]=tfrac12&tfrac12&tfrac12tfrac12&tfrac12&-tfrac12,;[F^2]=6&0&-14&1&-13&0&1,;[H^2]=tfrac12&00&tfrac12
Fcirc G e G^2 não estão definidas por incompatibilidade de dimensões.
(c) (Gcirc F)(2,-3,4)=(1,-2).
(d) (Gcirc F)(x,y,z)=(4x+y-z,;3x-2z).
(e) (Hcirc G)(-1,1) não está definido (faltam 3 coordenadas para G).
(f) (Hcirc G)(x,y) não está definido pelo mesmo motivo.

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