(a) Escreva as matrizes e em relação às bases canônicas dos espaços envolvidos.
(b) Obtenha as matrizes das transformações compostas e . Se não for possível, justifique.
(c) Calcule
(d) Escreva uma expressão para .
(e) Calcule .
(f) Escreva uma expressão para .
Passo 1
O enunciado dá três transformações lineares , e definidas por
Precisamos:
(a) as matrizes , , nas bases canônicas;
(b) as matrizes de , , , , , (ou justificar quando não der);
(c–f) avaliar e escrever expressões para certas composições.
Passo 2
Matriz de : colunas são .
Matriz de G: colunas são G(e1),G(e2),G(e3).
[G]= 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Matriz de H: colunas são H(e1),H(e2).
[H]= 12 & 12 12 & -12
Passo 3
Calculemos as composições cujas dimensões batem, usando produto de matrizes:
Não é possível definir Fcirc G nem G^2 porque as dimensões não são compatíveis: G sai de R^3 e entra em R^2, logo não cabe aplicar F ou G logo a seguir.
Não dá para calcular (Hcirc G)(-1,1) nem escrever (Hcirc G)(x,y) porque G exige um vetor de R^3 como entrada e aí sobra informação — o enunciado pediu 2 coordenadas para G, o que é incompatível com seu domínio.
Resposta
(a) [F]=3&0&-11&1&03&0&-2,;[G]=1&1&00&0&1,;[H]=tfrac12&tfrac12tfrac12&-tfrac12.
(b) [Gcirc F]=4&1&-13&0&-2,;[Hcirc G]=tfrac12&tfrac12&tfrac12tfrac12&tfrac12&-tfrac12,;[F^2]=6&0&-14&1&-13&0&1,;[H^2]=tfrac12&00&tfrac12 Fcirc G e G^2 não estão definidas por incompatibilidade de dimensões.
(c) (Gcirc F)(2,-3,4)=(1,-2).
(d) (Gcirc F)(x,y,z)=(4x+y-z,;3x-2z).
(e) (Hcirc G)(-1,1) não está definido (faltam 3 coordenadas para G).
(f) (Hcirc G)(x,y) não está definido pelo mesmo motivo.