Considere as seguintes transformações no mathbbR^3.
Utilizando coordenadas homogêneas: (x, y, z) in R^3 sim(x, y, z, 1) in R^4, obtenha a matriz [T] do operador translação T tal que T(x, y, z)=(x+a, y+b, z+c), ou seja:
[T][c x y z 1 ]=[c x+a y+b z+c 1 ]

Passo 1

O enunciado pede a matriz de transformação homogênea em R^3 que realiza a translação
T(x,y,z)=(x+a,;y+b,;z+c)
Para isso usamos coordenadas homogêneas, representando (x,y,z) como (x,y,z,1) em R^4, e buscamos uma matriz 4times4.

Passo 2

Em geral, uma transformação afim em coordenadas homogêneas é dada por
de modo que

Passo 3

Igualando coordenadas, obtemos para a primeira linha
m11x + m12y + m13z + m14 = x + a,
e analogamente para as demais. Da parte que multiplica x,y,z deve sair a identidade, logo
m11=m22=m33=1, m12=m13=m21=m23=m31=m32=0
Os termos constantes dão
m14=a, m24=b, m34=c
A última linha impõe
m41=m42=m43=0, m44=1

Passo 4

Substituindo essas condições, a matriz de translação homogênea fica:
[T] = 1 & 0 & 0 & a 0 & 1 & 0 & b 0 & 0 & 1 & c 0 & 0 & 0 & 1

Resposta

[T] = 1 & 0 & 0 & a 0 & 1 & 0 & b 0 & 0 & 1 & c 0 & 0 & 0 & 1

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