Considere os seguintes valores:
\begin{array}{cccccccc} X_{1}=2 & X_{2}=4 & X_{3}=6 & X_{4}=8 & X_{5}=10 & X_{6}=12 & X_{7}=14 & X_{8}=16 \\\ Y_{1}=1 & Y_{2}=3 & Y_{3}=5 & Y_{4}=7 & Y_{5}=9 & Y_{6}=11 & Y_{7}=13 & Y_{8}=15 \end{array}
Calcule os seguintes somatórios e produtórios:
\sum_{i=1}^{8} \sum_{j=2}^{5}\left(X_{i}-3\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o somatório duplo
\sum_{i=1}^{8}\sum_{j=2}^{5}\left(X_{i}-3\right).
As informações que nos foram dadas são os valores de X_{i} e Y_{i}:
X_{1}=2,\;X_{2}=4,\;X_{3}=6,\;X_{4}=8,\;X_{5}=10,\;X_{6}=12,\;X_{7}=14,\;X_{8}=16
e
Y_{1}=1,\;Y_{2}=3,\;Y_{3}=5,\;Y_{4}=7,\;Y_{5}=9,\;Y_{6}=11,\;Y_{7}=13,\;Y_{8}=15.
Observação: os valores de Y_{i} foram fornecidos, mas a expressão a somar depende apenas de X_{i}.

Passo 2

Note que, para um i fixo, a soma interior
\sum_{j=2}^{5}\left(X_{i}-3\right)
não depende de j, porque \left(X_{i}-3\right) é constante em relação a j. Quando somamos uma mesma quantidade várias vezes, é o mesmo que multiplicar essa quantidade pelo número de vezes que aparece. Portanto vale a igualdade geral
\sum_{j=2}^{5}\left(X_{i}-3\right)=\big(\text{número de valores de }j\big)\cdot\left(X_{i}-3\right).ú

Passo 3

Contamos os valores de j: j=2,3,4,5. São 4 valores de j. Assim
\sum_{j=2}^{5}\left(X_{i}-3\right)=4\left(X_{i}-3\right).

Passo 4

Substituindo na soma dupla, temos
\sum_{i=1}^{8}\sum_{j=2}^{5}\left(X_{i}-3\right)=\sum_{i=1}^{8}4\left(X_{i}-3\right).
Como 4 é constante em relação a i, podemos fatorar:
\sum_{i=1}^{8}4\left(X_{i}-3\right)=4\sum_{i=1}^{8}\left(X_{i}-3\right).

Passo 5

Agora precisamos de \sum_{i=1}^{8}X_{i}. Os X_{i} formam uma progressão aritmética com primeiro termo a_{1}=2, último termo a_{8}=16 e n=8 termos. A fórmula da soma de uma progressão aritmética é:
S=n\frac{a_{1}+a_{n}}{2},
onde S é a soma, n é o número de termos, a_{1} é o primeiro termo e a_{n} é o último termo. Aplicando:
\sum_{i=1}^{8}X_{i}=8\cdot\frac{2+16}{2}=8\cdot 9=72.

Passo 6

Usamos isso para calcular \sum_{i=1}^{8}\left(X_{i}-3\right):
\sum_{i=1}^{8}\left(X_{i}-3\right)=\sum_{i=1}^{8}X_{i}-\sum_{i=1}^{8}3=72-8\cdot 3=72-24=48.
Finalmente,
4\sum_{i=1}^{8}\left(X_{i}-3\right)=4\cdot 48=192.

Resposta

192

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