Considere os seguintes valores:
Calcule os seguintes somatórios e produtórios:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o somatório duplo
As informações que nos foram dadas são os valores de
e
:
e
Observação: os valores de
foram fornecidos, mas a expressão a somar depende apenas de
.
Passo 2
Note que, para um
fixo, a soma interior
não depende de
, porque
é constante em relação a
. Quando somamos uma mesma quantidade várias vezes, é o mesmo que multiplicar essa quantidade pelo número de vezes que aparece. Portanto vale a igualdade geral
Passo 3
Contamos os valores de
:
. São
valores de
. Assim
Passo 4
Substituindo na soma dupla, temos
Como
é constante em relação a
, podemos fatorar:
Passo 5
Agora precisamos de
. Os
formam uma progressão aritmética com primeiro termo
, último termo
e
termos. A fórmula da soma de uma progressão aritmética é:
onde
é a soma,
é o número de termos,
é o primeiro termo e
é o último termo. Aplicando:
Passo 6
Usamos isso para calcular
:
Finalmente,