Exercício 1.8.7: Os dados seguintes referem-se à percentagem de algodão, no material usado para confeccionar camisas de homem:
34,2
33,6
33,8
34,7
37,8
32,6
33,1
34,7
34,2
33,6
36,6
33,1
34,5
35,0
33,4
32,5
35,4
34,6
35,6
35,4
34,7
34,1
34,6
35,9
36,3
36,2
34,6
35,1
33,8
34,7
Estude a distribuição de frequência, tomando em conta os seguintes itens: (a) Faça um histograma de frequê ncia absoluta;
(b) Determine a média aritmética, a mediana e a moda;
(c) Determine o desvio médio, o desvio padrão e o coeficiente de variação;
(d) Classifique a distribuição quanto à assimetria justificando com o coeficiente que entender;
(e) Classifique a distribuição quanto ao achatamento e justifique.
Passo 1
O enunciado fornece 30 observações (percentagens de algodão) e pede que eu estude a distribuição atendendo aos itens (a)–(e). Os dados (copiados do enunciado) são:
As perguntas são:
(a) fazer um histograma de frequência absoluta;
(b) determinar média aritmética, mediana e moda;
(c) determinar desvio médio, desvio padrão e coeficiente de variação;
(d) classificar a distribuição quanto à assimetria (com justificação pelo coeficiente que eu escolher);
(e) classificar a distribuição quanto ao achatamento (kurtose) e justificar.
Passo 2
Organizar os dados, contar observações e preparar as classes para o histograma. Primeiro ordeno e conto (resumo por valores):
Escolho classes de largura 1{,}0 ponto percentual, centrando as classes nos incrementos naturais dos dados. As classes (meio-abertas, inclusão à esquerda) ficam assim:
Isto já é a informação necessária para construir o histograma de frequência absoluta: em cada classe desenhe uma barra cuja altura é a frequência mostrada acima (5, 7, 12, 4, 1, 1). Se quiser as frequências relativas:
Calcular a média aritmética e explicar a fórmula. A média aritmética de uma amostra é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
onde x_i são as observações e n é o número total de observações. Aqui já somei os dados:
\sum_{i=1}^{30} x_i = 1038{,}4.
Portanto
\bar{x}=\frac{1038{,}4}{30}=34{,}613\quad(\text{arredondado a três decimais}).
Interpretação prática: é o valor médio da percentagem de algodão na amostra.
Passo 4
Calcular a mediana e a moda e explicar como obter cada uma.
Mediana: com n par (aqui n=30), a mediana é a média dos n/2-ésimos e (n/2+1)-ésimos valores ordenados, isto é dos 15.º e 16.º. Ordenando (veja a tabela do Passo 2) os 15.º e 16.º valores são ambos 34{,}6. Logo
\text{mediana}=34{,}6.
Moda: é o valor com maior frequência. Pelos contagens, 34{,}7 aparece 4 vezes (é o valor mais frequente). Logo
\text{moda}=34{,}7.
Passo 5
Calcular o desvio médio (desvio médio absoluto) e explicar a fórmula. O desvio médio em torno da média é
\text{DM}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i-\bar{x}|.
Faço a soma das diferenças absolutas (usei a tabela com frequências para agilizar): obtive
Interpretação: em média cada observação difere da média por cerca de 0{,}901 pontos percentuais.
Passo 6
Calcular o desvio padrão (explicar escolha de fórmula). Há duas versões comuns: a populacional (divisão por n) e a amostral (divisão por n-1). Como temos uma amostra de produção de camisas, uso a versão amostral (estimador não tendencioso) para o desvio padrão e explico a fórmula:
Obs.: a raiz da variância populacional (dividindo por n) daria \sqrt{42{,}3146667/30}\approx 1{,}188; escolhi s (denominador n-1) por ser a prática usual ao descrever uma amostra.
Passo 7
Calcular o coeficiente de variação (CV) e explicar. O coeficiente de variação mede a dispersão relativa:
Interpretação: a variabilidade é pequena em relação à média (aprox. 3{,}5\%).
Passo 8
Classificação quanto à assimetria (explico e calculo um coeficiente simples). Uma forma simples e pedagógica de avaliar assimetria é o coeficiente de Pearson (segunda versão):
Interpretação: esse coeficiente está muito perto de zero (positivo muito pequeno). Conclusão prática: a distribuição é aproximadamente simétrica; se formos rigorosos dizemos “praticamente simétrica” com uma assimetria ligeiramente positiva (mas irrelevante na prática).
Passo 9
Classificação quanto ao achatamento (kurtose) — explico a ideia e dou um cálculo aproximado. Uma forma simples usa o quarto momento centrado populacional:
Interpretação: \kappa é um pouco maior que 3, indicando uma leve leptocurtose (distribuição ligeiramente mais pontiaguda do que a normal), mas a diferença é pequena — na prática a distribuição está muito próxima de mesocúrtica (próxima da normal).
Passo 10
Resumo interpretativo rápido (motivação para a prova): o histograma mostra uma concentração em torno de 34{,}5–35{,}5, média e mediana praticamente iguais, baixa variabilidade relativa (\text{CV}\approx 3{,}5\%), praticamente simétrica e com curtose muito próxima da normal. Isso significa que a percentagem de algodão nas camisas é relativamente estável em torno de 34{,}6\%.
Resposta
(a) Classes e frequências (histograma de frequência absoluta): [32{,}5,33{,}5):5, [33{,}5,34{,}5):7, [34{,}5,35{,}5):12, [35{,}5,36{,}5):4, [36{,}5,37{,}5):1, [37{,}5,38{,}5):1.
(b) \bar{x}=34{,}613, mediana =34{,}6, moda =34{,}7.
(c) desvio médio \approx 0{,}901; desvio padrão amostral s\approx 1{,}208; coeficiente de variação \approx 3{,}49\%.
(d) Assimetria (coef. de Pearson) \approx 0{,}011 → distribuição aproximadamente simétrica (ligeira assimetria positiva, desprezível).
(e) Curtose (coeficiente) \approx 3{,}16 → leve leptocurtose, na prática muito próxima de mesocúrtica (próxima da normal).