Exercício 1.8.7: Os dados seguintes referem-se à percentagem de algodão, no material usado para confeccionar camisas de homem:
34,2 33,6 33,8 34,7 37,8 32,6
33,1 34,7 34,2 33,6 36,6 33,1
34,5 35,0 33,4 32,5 35,4 34,6
35,6 35,4 34,7 34,1 34,6 35,9
36,3 36,2 34,6 35,1 33,8 34,7
Estude a distribuição de frequência, tomando em conta os seguintes itens: (a) Faça um histograma de frequê ncia absoluta;
(b) Determine a média aritmética, a mediana e a moda;
(c) Determine o desvio médio, o desvio padrão e o coeficiente de variação;
(d) Classifique a distribuição quanto à assimetria justificando com o coeficiente que entender;
(e) Classifique a distribuição quanto ao achatamento e justifique.

Passo 1

O enunciado fornece 30 observações (percentagens de algodão) e pede que eu estude a distribuição atendendo aos itens (a)–(e). Os dados (copiados do enunciado) são:
\begin{array}{llllll} 34{,}2 & 33{,}6 & 33{,}8 & 34{,}7 & 37{,}8 & 32{,}6 \\\\ 33{,}1 & 34{,}7 & 34{,}2 & 33{,}6 & 36{,}6 & 33{,}1 \\\\ 34{,}5 & 35{,}0 & 33{,}4 & 32{,}5 & 35{,}4 & 34{,}6 \\\\ 35{,}6 & 35{,}4 & 34{,}7 & 34{,}1 & 34{,}6 & 35{,}9 \\\\ 36{,}3 & 36{,}2 & 34{,}6 & 35{,}1 & 33{,}8 & 34{,}7 \end{array}
As perguntas são:
(a) fazer um histograma de frequência absoluta;
(b) determinar média aritmética, mediana e moda;
(c) determinar desvio médio, desvio padrão e coeficiente de variação;
(d) classificar a distribuição quanto à assimetria (com justificação pelo coeficiente que eu escolher);
(e) classificar a distribuição quanto ao achatamento (kurtose) e justificar.

Passo 2

Organizar os dados, contar observações e preparar as classes para o histograma. Primeiro ordeno e conto (resumo por valores):
\begin{array}{l|r} \text{valor (\%)} & \text{frequência}\\hline 32{,}5 & 1\\\\ 32{,}6 & 1\\\\ 33{,}1 & 2\\\\ 33{,}4 & 1\\\\ 33{,}6 & 2\\\\ 33{,}8 & 2\\\\ 34{,}1 & 1\\\\ 34{,}2 & 2\\\\ 34{,}5 & 1\\\\ 34{,}6 & 3\\\\ 34{,}7 & 4\\\\ 35{,}0 & 1\\\\ 35{,}1 & 1\\\\ 35{,}4 & 2\\\\ 35{,}6 & 1\\\\ 35{,}9 & 1\\\\ 36{,}2 & 1\\\\ 36{,}3 & 1\\\\ 36{,}6 & 1\\\\ 37{,}8 & 1 \end{array}ê
Total: \;n=30.
Escolho classes de largura 1{,}0 ponto percentual, centrando as classes nos incrementos naturais dos dados. As classes (meio-abertas, inclusão à esquerda) ficam assim:
[32{,}5,33{,}5),\;[33{,}5,34{,}5),\;[34{,}5,35{,}5),\;[35{,}5,36{,}5),\;[36{,}5,37{,}5),\;[37{,}5,38{,}5).
Conto as frequências por classe (usei a tabela de valores ordenados acima):
\begin{array}{l|r} \text{classe} & \text{f (absoluta)}\\hline [32{,}5,33{,}5) & 5\\\ [33{,}5,34{,}5) & 7\\\ [34{,}5,35{,}5) & 12\\\ [35{,}5,36{,}5) & 4\\\ [36{,}5,37{,}5) & 1\\\ [37{,}5,38{,}5) & 1 \end{array}
Isto já é a informação necessária para construir o histograma de frequência absoluta: em cada classe desenhe uma barra cuja altura é a frequência mostrada acima (5, 7, 12, 4, 1, 1). Se quiser as frequências relativas:
\text{frequência relativa} = \frac{f}{n}:\; \frac{5}{30},\frac{7}{30},\frac{12}{30},\frac{4}{30},\frac{1}{30},\frac{1}{30}.ê

Passo 3

Calcular a média aritmética e explicar a fórmula. A média aritmética de uma amostra é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
onde x_i são as observações e n é o número total de observações. Aqui já somei os dados:
\sum_{i=1}^{30} x_i = 1038{,}4.
Portanto
\bar{x}=\frac{1038{,}4}{30}=34{,}613\quad(\text{arredondado a três decimais}).ê
Interpretação prática: é o valor médio da percentagem de algodão na amostra.

Passo 4

Calcular a mediana e a moda e explicar como obter cada uma.
Mediana: com n par (aqui n=30), a mediana é a média dos n/2-ésimos e (n/2+1)-ésimos valores ordenados, isto é dos 15.º e 16.º. Ordenando (veja a tabela do Passo 2) os 15.º e 16.º valores são ambos 34{,}6. Logo
\text{mediana}=34{,}6.
Moda: é o valor com maior frequência. Pelos contagens, 34{,}7 aparece 4 vezes (é o valor mais frequente). Logo
\text{moda}=34{,}7.

Passo 5

Calcular o desvio médio (desvio médio absoluto) e explicar a fórmula. O desvio médio em torno da média é
\text{DM}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i-\bar{x}|.
Faço a soma das diferenças absolutas (usei a tabela com frequências para agilizar): obtive
\sum_{i=1}^{30} |x_i-\bar{x}| \approx 27{,}0266667.
Portanto
\text{desvio médio}=\frac{27{,}0266667}{30}\approx 0{,}9009\\ (\text{ou }0{,}901 \text{ arred.}).é
Interpretação: em média cada observação difere da média por cerca de 0{,}901 pontos percentuais.

Passo 6

Calcular o desvio padrão (explicar escolha de fórmula). Há duas versões comuns: a populacional (divisão por n) e a amostral (divisão por n-1). Como temos uma amostra de produção de camisas, uso a versão amostral (estimador não tendencioso) para o desvio padrão e explico a fórmula:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}.
Para calcular é útil a identidade
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2.
Já que
\sum_{i=1}^{30} x_i^2 = 35984{,}80\quad\text{e}\quad n\bar{x}^2 = 30\cdot(34{,}613)^2 \approx 35942{,}4853333,
temos
\sum_{i=1}^{30}(x_i-\bar{x})^2 \approx 35984{,}80-35942{,}4853333 = 42{,}3146667.
Logo a variância amostral é
s^2=\frac{42{,}3146667}{30-1}=\frac{42{,}3146667}{29}\approx 1{,}45912644,
portanto o desvio padrão amostral é
s\approx\sqrt{1{,}45912644}\approx 1{,}20798\approx 1{,}208.
Obs.: a raiz da variância populacional (dividindo por n) daria \sqrt{42{,}3146667/30}\approx 1{,}188; escolhi s (denominador n-1) por ser a prática usual ao descrever uma amostra.

Passo 7

Calcular o coeficiente de variação (CV) e explicar. O coeficiente de variação mede a dispersão relativa:
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Usando s\approx 1{,}20798 e \bar{x}=34{,}613,
\text{CV}\approx\frac{1{,}20798}{34{,}613}\times 100\%\approx 3{,}49\%.
Interpretação: a variabilidade é pequena em relação à média (aprox. 3{,}5\%).

Passo 8

Classificação quanto à assimetria (explico e calculo um coeficiente simples). Uma forma simples e pedagógica de avaliar assimetria é o coeficiente de Pearson (segunda versão):
\text{assimetria (Pearson)}=\frac{\bar{x}-\text{mediana}}{s}.
Aqui
\bar{x}-\text{mediana}=34{,}613-34{,}6=0{,}0133333\ldots
e, com s\approx1{,}20798,
\text{assimetria}\approx\frac{0{,}0133333}{1{,}20798}\approx 0{,}0110.
Interpretação: esse coeficiente está muito perto de zero (positivo muito pequeno). Conclusão prática: a distribuição é aproximadamente simétrica; se formos rigorosos dizemos “praticamente simétrica” com uma assimetria ligeiramente positiva (mas irrelevante na prática).

Passo 9

Classificação quanto ao achatamento (kurtose) — explico a ideia e dou um cálculo aproximado. Uma forma simples usa o quarto momento centrado populacional:
m_4=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^4, \qquad m_2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
O coeficiente de curtose (não-excess) é
\kappa=\frac{m_4}{(m_2)^2}.
Se \kappa\approx 3 temos distribuição aproximadamente mesocúrtica (como a normal); \kappa>3 indica leptocurtose (mais pontiaguda), \kappa<3 platicurtose (achatada).
Calculei numericamente (somando (x_i-\bar{x})^4 com apoio da tabela por valores) e obtive
\sum_{i=1}^{30}(x_i-\bar{x})^4 \approx 188{,}278,
portanto
m_4\approx\frac{188{,}278}{30}\approx 6{,}2759.
Usando m_2= variância populacional =42{,}3146667/30\approx 1{,}41048889, temos
m_2^2\approx (1{,}41048889)^2\approx 1{,}9895,
e então
\kappa=\frac{6{,}2759}{1{,}9895}\approx 3{,}16\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: \kappa é um pouco maior que 3, indicando uma leve leptocurtose (distribuição ligeiramente mais pontiaguda do que a normal), mas a diferença é pequena — na prática a distribuição está muito próxima de mesocúrtica (próxima da normal).

Passo 10

Resumo interpretativo rápido (motivação para a prova): o histograma mostra uma concentração em torno de 34{,}5 35{,}5, média e mediana praticamente iguais, baixa variabilidade relativa ( \text{CV}\approx 3{,}5\%), praticamente simétrica e com curtose muito próxima da normal. Isso significa que a percentagem de algodão nas camisas é relativamente estável em torno de 34{,}6\%.

Resposta

(a) Classes e frequências (histograma de frequência absoluta): [32{,}5,33{,}5):5, [33{,}5,34{,}5):7, [34{,}5,35{,}5):12, [35{,}5,36{,}5):4, [36{,}5,37{,}5):1, [37{,}5,38{,}5):1.
(b) \bar{x}=34{,}613, mediana =34{,}6, moda =34{,}7.
(c) desvio médio \approx 0{,}901; desvio padrão amostral s\approx 1{,}208; coeficiente de variação \approx 3{,}49\%.
(d) Assimetria (coef. de Pearson) \approx 0{,}011 → distribuição aproximadamente simétrica (ligeira assimetria positiva, desprezível).
(e) Curtose (coeficiente) \approx 3{,}16 → leve leptocurtose, na prática muito próxima de mesocúrtica (próxima da normal).

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