Considere os seguintes valores:
\begin{array}{cccccccc} X_{1}=2 & X_{2}=4 & X_{3}=6 & X_{4}=8 & X_{5}=10 & X_{6}=12 & X_{7}=14 & X_{8}=16 \\\ Y_{1}=1 & Y_{2}=3 & Y_{3}=5 & Y_{4}=7 & Y_{5}=9 & Y_{6}=11 & Y_{7}=13 & Y_{8}=15 \end{array}
Calcule os seguintes somatórios e produtórios:
\prod_{i=2}^{4} \frac{X_{i} Y_{i}}{3}

Passo 1

O enunciado fornece os valores
X_{1}=2,\; X_{2}=4,\; X_{3}=6,\; X_{4}=8,\; X_{5}=10,\; X_{6}=12,\; X_{7}=14,\; X_{8}=16
Y_{1}=1,\; Y_{2}=3,\; Y_{3}=5,\; Y_{4}=7,\; Y_{5}=9,\; Y_{6}=11,\; Y_{7}=13,\; Y_{8}=15
e pede para calcular o produto
\prod_{i=2}^{4}\frac{X_{i}Y_{i}}{3}.
As perguntas são: escrever explicitamente esse produto e calcular o seu valor numérico simplificado.

Passo 2

Entendendo a notação do produto: a expressão
\prod_{i=2}^{4} a_{i}
significa multiplicar os termos a_{2}, a_{3} e a_{4}, isto é,
\prod_{i=2}^{4} a_{i}=a_{2}\cdot a_{3}\cdot a_{4}.
Aqui cada a_{i} é \dfrac{X_{i}Y_{i}}{3}, então vamos multiplicar os três termos correspondentes a i=2,3,4.

Passo 3

Substituindo os valores fornecidos para i=2,3,4, obtemos explicitamente:
\prod_{i=2}^{4}\frac{X_{i}Y_{i}}{3}=\frac{X_{2}Y_{2}}{3}\cdot\frac{X_{3}Y_{3}}{3}\cdot\frac{X_{4}Y_{4}}{3}.
Agora plugamos X_{2}=4,\;Y_{2}=3;\;X_{3}=6,\;Y_{3}=5;\;X_{4}=8,\;Y_{4}=7:
\frac{4\cdot 3}{3}\cdot\frac{6\cdot 5}{3}\cdot\frac{8\cdot 7}{3}.

Passo 4

Calcule cada fator separadamente (isso facilita e evita erros):
\frac{4\cdot 3}{3}=\frac{12}{3}=4,
\frac{6\cdot 5}{3}=\frac{30}{3}=10,
\frac{8\cdot 7}{3}=\frac{56}{3}.

Passo 5

Multiplicamos os resultados passo a passo para organizar a conta:
primeiro multiplicamos os dois primeiros fatores:
4\cdot 10=40.
Agora multiplicamos pelo terceiro fator \dfrac{56}{3}:
40\cdot\frac{56}{3}=\frac{40\cdot 56}{3}.

Passo 6

Realizamos a multiplicação do numerador:
40\cdot 56 = 40\cdot(50+6)=40\cdot 50 + 40\cdot 6 = 2000 + 240 = 2240.
Portanto o produto é
\frac{2240}{3}.
Esse quociente não reduz (o máximo divisor comum entre 2240 e 3 é 1), então essa é a forma irreduzível. Como verificação decimal, \dfrac{2240}{3}=746\frac{2}{3}, mas a forma fracionária é preferível.

Resposta

\dfrac{2240}{3}

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