Partindo da expressão relativística da energia cinética dada pela equação
K=(gamma-1) m c^2
e fazendo um desenvolvimento em série desta equação para u ll c, determine:
(a) os dois primeiros termos da expressão da energia cinética K;
(b) a fórmula clássica da energia cinética, ou seja, o valor aproximado da energia cinética K considerando apenas o primeiro termo deste desenvolvimento.

Passo 1

O enunciado pede para expandir em série a expressão relativística da energia cinética
K = (gamma - 1),m,c^2
no regime u ll c. Isso envolve usar a expansão binomial para
gamma = 1/raiz1-beta^2 com beta = u/c, e depois identificar os dois primeiros termos do desenvolvimento e, em seguida, obter só o primeiro deles, que corresponde à fórmula clássica.

Passo 2

Escrevemos
gamma = 1raiz1-beta^2
com beta = u/c. Para beta ll 1 usamos a expansão binomial
1raiz1 - beta^2 = 1 + 12,beta^2 + 38,beta^4 + cdots

Passo 3

Subtraindo 1 e multiplicando por m,c^2 obtemos
K = (gamma - 1),m,c^2 = l(12,beta^2 + 38,beta^4 + cdotsr),m,c^2
Voltando a u, ou seja beta^2 = u^2/c^2, fica
K = 12,m,u^2 + 38,m,u^4c^2 + cdots

Passo 4

Para obter a fórmula clássica basta manter somente o primeiro termo do desenvolvimento, desprezando as correções de ordem l(u/cr)^4 e superiores.

Resposta

(a) K = 12,m,u^2 + 38,m,u^4c^2
(b) K approx 12,m,u^2

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