Considere os seguintes vetores de \mathbb{R}^{4}: u=\left(\begin{array}{c}-3 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right), v=\left(\begin{array}{c}4 \\\\ 7 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right) e w=\left(\begin{array}{c}5 \\\\ -2 \\\\ 8 \\\\ 1\end{array}\right). Calcule:
(d) u-(6 v-w)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^4:
u = \begin{pmatrix}-3 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ 0\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}4 \\\\ 7 \\\\ -3 \\\\ 2\end{pmatrix},\quad w = \begin{pmatrix}5 \\\\ -2 \\\\ 8 \\\\ 1\end{pmatrix}
E pede para calcular a combinação linear
u - \bigl(6\,v - w\bigr).
O conteúdo aqui é operação com vetores: multiplicação escalar, soma e diferença de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar v por 6. Para isso, multiplicamos cada componente de v por 6:
6\,v = 6 \begin{pmatrix}4 \\\\ 7 \\\\ -3 \\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\cdot 4 \\[6pt]6\cdot 7 \\[6pt]6\cdot(-3) \\[6pt]6\cdot 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24 \\\\ 42 \\\\ -18 \\\\ 12\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos 6\,v - w subtraindo w de 6\,v, componente a componente:
6\,v - w = \begin{pmatrix}24 \\\\ 42 \\\\ -18 \\\\ 12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\\\ -2 \\\\ 8 \\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}24-5 \\\\ 42-(-2) \\\\ -18-8 \\\\ 12-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}19 \\\\ 44 \\\\ -26 \\\\ 11\end{pmatrix}.

Passo 4

Por fim, fazemos u - (6\,v - w), ou seja, subtraímos o vetor obtido em cima de u:
u - \bigl(6\,v - w\bigr) = \begin{pmatrix}-3 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}19 \\\\ 44 \\\\ -26 \\\\ 11\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3-19 \\\\ 2-44 \\\\ 1-(-26) \\\\ 0-11\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-22 \\\\ -42 \\\\ 27 \\\\ -11\end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix}-22 \\\\ -42 \\\\ 27 \\\\ -11\end{pmatrix}

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