Encontre todos os escalares c_{1}, c_{2} e c_{3} tais que c_{1}\left(\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{l}3 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right)+c_{3}\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 4\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}-1 \\\\ 1 \\\\ 19\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os escalares c_{1},c_{2},c_{3} de modo que a combinação linear
c_{1}\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} + c_{2}\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} + c_{3}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 19\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear básica: igualar componentes e resolver o sistema linear em três incógnitas.

Passo 2

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} c_{1} + 3c_{2} = -1,\\\\ -\,c_{1} + 2c_{2} + c_{3} = 1,\\\ c_{2} + 4c_{3} = 19. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação segue
c_{1} = -1 - 3c_{2}.
Substituindo em -c_{1} + 2c_{2} + c_{3} = 1
-(-1 - 3c_{2}) + 2c_{2} + c_{3} = 1 \;\Longrightarrow\; 1 + 5c_{2} + c_{3} = 1 \;\Longrightarrow\; c_{3} = -5c_{2}.
Agora, na terceira equação c_{2} + 4c_{3} = 19, substituindo c_{3} obtém-se
c_{2} + 4(-5c_{2}) = 19 \;\Longrightarrow\; -19c_{2} = 19 \;\Longrightarrow\; c_{2} = -1.
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c_{3} = -5(-1) = 5, \quad c_{1} = -1 - 3(-1) = 2.

Resposta

c_{1} = 2,\quad c_{2} = -1,\quad c_{3} = 5

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