Encontre todos os escalares c_{1}, c_{2} e c_{3} tais que c_{1}\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right)+c_{3}\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 3 \\\\ 1\end{array}\right)=\overrightarrow{0}.

Passo 1

O enunciado pede todos os escalares c_{1},c_{2},c_{3} tais que a combinação linear
c_{1}\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix} + c_{2}\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} + c_{3}\begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix} =\overrightarrow{0}.
O conteúdo aqui é verificar se esses vetores são linearmente independentes, configurando e resolvendo um sistema homogêneo.

Passo 2

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} c_{1} + 2c_{2} + 0\cdot c_{3} = 0,\\\\ 2c_{1} + c_{2} + 3c_{3} = 0,\\\\ 0\cdot c_{1} + c_{2} + c_{3} = 0. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação segue
c_{2} + c_{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_{2} = -c_{3}.
Substituindo em c_{1}+2c_{2}=0, vem
c_{1} + 2(-c_{3}) = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_{1} = 2c_{3}.
Por fim, na segunda equação
2c_{1} + c_{2} + 3c_{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2(2c_{3}) + (-c_{3}) + 3c_{3} = 6c_{3} = 0
logo c_{3}=0. Daí c_{2}=-c_{3}=0 e c_{1}=2c_{3}=0.

Resposta

c_{1}=0,\;c_{2}=0,\;c_{3}=0.

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