Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 12 retirada de uma população com distribuição Normal com média mu e variância sigma^2. Calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
166 169 167 167 168 170 167 167 168 164 170 168
O valor da estimativa de máxima verossimilhança para o parâmetro sigma^2, considerando a amostra observada, é de:
square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Estatística! A questão pede para encontrar a estimativa de máxima verossimilhança para a variância sigma^2 de uma população normal, usando uma amostra de tamanho 12. Para isso, vamos precisar calcular a média da amostra e a variância usando a fórmula de máxima verossimilhança.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os valores da amostra: 166, 169, 167, 167, 168, 170, 167, 167, 168, 164, 170, 168.

Passo 3

Vamos calcular a média da amostra ( barx). Somamos todos os valores e dividimos pelo número de observações (12).
barx = 166 + 169 + 167 + 167 + 168 + 170 + 167 + 167 + 168 + 164 + 170 + 16812 = 200012 approx 166.67

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância de máxima verossimilhança. A fórmula para a estimativa de máxima verossimilhança da variância sigma^2 é:
sigma^2 = 1n sumi=1^n (xi - barx)^2
Onde n é o tamanho da amostra.

Passo 5

Vamos calcular cada termo (xi - barx)^2:
(166 - 166.67)^2 approx 0.45
(169 - 166.67)^2 approx 5.44
(167 - 166.67)^2 approx 0.11
(167 - 166.67)^2 approx 0.11
(168 - 166.67)^2 approx 1.77
(170 - 166.67)^2 approx 11.11
(167 - 166.67)^2 approx 0.11
(167 - 166.67)^2 approx 0.11
(168 - 166.67)^2 approx 1.77
(164 - 166.67)^2 approx 7.11
(170 - 166.67)^2 approx 11.11
(168 - 166.67)^2 approx 1.77

Passo 6

Somando todos esses valores:
0.45 + 5.44 + 0.11 + 0.11 + 1.77 + 11.11 + 0.11 + 0.11 + 1.77 + 7.11 + 11.11 + 1.77 approx 40.92

Passo 7

Agora, dividimos essa soma pelo tamanho da amostra (12) para obter a variância:
sigma^2 = 40.9212 approx 3.41

Resposta

A estimativa de máxima verossimilhança para a variância sigma^2 é aproximadamente 3.41.

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