Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 12 retirada de uma população com distribuição Bernoulli com parâmetro p. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro p dada a amostra observada, ou seja, log L(p mid x), e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
111011010110
O valor de log L(p=0.2 mid x), é de:
square

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma amostra de 12 valores que seguem uma distribuição Bernoulli com parâmetro $ p $. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de log verossimilhança do parâmetro $ p $ dada essa amostra, ou seja, $ \log L(p \mid \mathbf{x}) $. Depois, vamos calcular esse valor para $ p = 0.2 $, arredondando para duas casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição Bernoulli. Essa distribuição descreve experimentos que têm só dois resultados possíveis: sucesso (1) ou fracasso (0). O parâmetro $ p $ representa a probabilidade de sucesso.
Para uma amostra $ \mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_{12}) $, a função de verossimilhança $ L(p \mid \mathbf{x}) $ é o produto das probabilidades individuais de cada observação. Matemáticamente, isso fica:
p

Passo 3

Como estamos interessados na função de log verossimilhança, vamos aplicar o logaritmo natural na função de verossimilhança:
log L(p mid x) = sumi=1^12 [ xi ln(p) + (1 - xi) ln(1 - p) ]
Isso porque o logaritmo do produto se torna a soma dos logaritmos.

Passo 4

Agora, vamos contar quantos 1’s e 0’s temos na amostra $ 111011010110 $:
  • Número de 1’s ($ k $): 7
  • Número de 0’s ($ n - k $): 5
Substituindo esses valores na função de log verossimilhança:
111011010110

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \log L(p=0.2 \mid \mathbf{x}) $:
Substituindo $ p = 0.2 $:
log L(p=0.2 mid x)
Calculando os valores:
p = 0.2
log L(0.2 mid x) = 7 ln(0.2) + 5 ln(1 - 0.2)
Então,
ln(0.2) approx -1.6094

Resposta

O valor de $ \log L(p=0.2 \mid \mathbf{x}) $ é aproximadamente -12.38.

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