Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 12 retirada de uma população com distribuição Bernoulli com parâmetro
. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro
dada a amostra observada, ou seja,
, e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
111011010110
O valor de
, é de:
111011010110
O valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma amostra de 12 valores que seguem uma distribuição Bernoulli com parâmetro $ p $. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de log verossimilhança do parâmetro $ p $ dada essa amostra, ou seja, $ \log L(p \mid \mathbf{x}) $. Depois, vamos calcular esse valor para $ p = 0.2 $, arredondando para duas casas decimais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição Bernoulli. Essa distribuição descreve experimentos que têm só dois resultados possíveis: sucesso (1) ou fracasso (0). O parâmetro $ p $ representa a probabilidade de sucesso.
Para uma amostra $ \mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_{12}) $, a função de verossimilhança $ L(p \mid \mathbf{x}) $ é o produto das probabilidades individuais de cada observação. Matemáticamente, isso fica:
Passo 3
Como estamos interessados na função de log verossimilhança, vamos aplicar o logaritmo natural na função de verossimilhança:
Isso porque o logaritmo do produto se torna a soma dos logaritmos.
Passo 4
Agora, vamos contar quantos 1’s e 0’s temos na amostra $ 111011010110 $:
- Número de 1’s ($ k $): 7
- Número de 0’s ($ n - k $): 5
Substituindo esses valores na função de log verossimilhança:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \log L(p=0.2 \mid \mathbf{x}) $:
Substituindo $ p = 0.2 $:
Calculando os valores:
Então,
Resposta
O valor de $ \log L(p=0.2 \mid \mathbf{x}) $ é aproximadamente -12.38.