Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro
. Encontre a função de
verossimilhança do parâmetro
dada a amostra observada, ou seja,
, e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais). 641056135817711913
O vator đe
para o qual a função
atinge o seu máximo, é de:
O vator đe
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a função do logaritmo da verossimilhança,
, para uma amostra de tamanho 13 retirada de uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Depois, precisamos descobrir qual valor de
faz essa função atingir o seu máximo. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da distribuição de Poisson e entender como construir a função de verossimilhança.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a distribuição de Poisson. A probabilidade de observarmos um valor
em uma distribuição de Poisson é dada por:
Nesse caso, nossa amostra tem 13 valores: 6, 4, 10, 5, 6, 13, 5, 8, 17, 7, 11, 9, 13.
Passo 3
A função de verossimilhança,
, é o produto das probabilidades de cada observação na amostra. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos tirar o logaritmo dessa função para facilitar os cálculos. A função log-verossimilhança é:
Simplificando, ficamos com:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza a função
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Vamos calcular a soma dos valores da amostra:
Então,
Resposta
O valor de
que maximiza a função
é aproximadamente 8,77.