Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro lambda dada a amostra observada, ou seja, log L(lambda mid x), e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais). 641056135817711913
O vator đe lambda para o qual a função log L(lambda mid x) atinge o seu máximo, é de: square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a função do logaritmo da verossimilhança, log L(lambda mid x), para uma amostra de tamanho 13 retirada de uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Depois, precisamos descobrir qual valor de lambda faz essa função atingir o seu máximo. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da distribuição de Poisson e entender como construir a função de verossimilhança.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a distribuição de Poisson. A probabilidade de observarmos um valor x em uma distribuição de Poisson é dada por:
P(X = x) = e^-lambda lambda^xx!
Nesse caso, nossa amostra tem 13 valores: 6, 4, 10, 5, 6, 13, 5, 8, 17, 7, 11, 9, 13.

Passo 3

A função de verossimilhança, L(lambda mid x), é o produto das probabilidades de cada observação na amostra. Então, temos:
L(lambda mid x) = prodi=1^13 e^-lambda lambda^xixi!

Passo 4

Agora, vamos tirar o logaritmo dessa função para facilitar os cálculos. A função log-verossimilhança é:
log L(lambda mid x) = sumi=1^13 ( -lambda + xi log lambda - log xi! )
Simplificando, ficamos com:
log L(lambda mid x) = -13lambda + ( sumi=1^13 xi ) log lambda - sumi=1^13 log xi!

Passo 5

Para encontrar o valor de lambda que maximiza a função log L(lambda mid x), derivamos em relação a lambda e igualamos a zero:
ddlambda log L(lambda mid x) = -13 + sumi=1^13 xilambda = 0
Resolvendo para lambda:
lambda = sumi=1^13 xi13

Passo 6

Vamos calcular a soma dos valores da amostra:
6 + 4 + 10 + 5 + 6 + 13 + 5 + 8 + 17 + 7 + 11 + 9 + 13 = 114
Então,
lambda = 11413 approx 8,77

Resposta

O valor de lambda que maximiza a função log L(lambda mid x) é aproximadamente 8,77.

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