Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 9 retirada de uma população com distribüição Bernoulli com parâmetro
. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro
dada a amostra observada, ou seja,
, e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais). 000101000
O valor de
, é de:
O valor de
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Estatística que envolve a distribuição de Bernoulli e a função de log-verossimilhança. Precisamos encontrar a função de log verossimilhança do parâmetro $ p $ dada uma amostra específica e, em seguida, calcular o valor dessa função quando $ p = 0,3 $. Para isso, vamos utilizar conceitos de probabilidades e funções de verossimilhança.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de Bernoulli. Ela modela experimentos que têm apenas dois resultados possíveis: sucesso (1) e falha (0). O parâmetro $ p $ representa a probabilidade de sucesso.
Passo 3
A função de verossimilhança para uma amostra de tamanho $ n $ da distribuição de Bernoulli é dada por:
onde:
- $ k $ é o número de sucessos (número de 1’s na amostra),
- $ n $ é o tamanho da amostra.
Passo 4
No nosso caso, a amostra é 000101000. Vamos contar quantos 1’s temos:
E o tamanho da amostra é:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na função de verossimilhança:
Passo 6
A função de log-verossimilhança é o logaritmo natural da função de verossimilhança:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor de $ \log L(p = 0,3 \mid x) $. Substituímos $ p = 0,3 $ na expressão:
Passo 8
Calculando cada termo separadamente:
Passo 9
Somando os resultados: