Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 9 retirada de uma população com distribüição Bernoulli com parâmetro p. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro p dada a amostra observada, ou seja, log L(p mid x), e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais). 000101000
O valor de log L(p=0.3 mid x), é de: square

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Estatística que envolve a distribuição de Bernoulli e a função de log-verossimilhança. Precisamos encontrar a função de log verossimilhança do parâmetro $ p $ dada uma amostra específica e, em seguida, calcular o valor dessa função quando $ p = 0,3 $. Para isso, vamos utilizar conceitos de probabilidades e funções de verossimilhança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Bernoulli. Ela modela experimentos que têm apenas dois resultados possíveis: sucesso (1) e falha (0). O parâmetro $ p $ representa a probabilidade de sucesso.

Passo 3

A função de verossimilhança para uma amostra de tamanho $ n $ da distribuição de Bernoulli é dada por:
n
onde:
  • $ k $ é o número de sucessos (número de 1’s na amostra),
  • $ n $ é o tamanho da amostra.

Passo 4

No nosso caso, a amostra é 000101000. Vamos contar quantos 1’s temos:
k = 2
E o tamanho da amostra é:
n = 9

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na função de verossimilhança:
L(p mid x) = p^2 (1 - p)^7

Passo 6

A função de log-verossimilhança é o logaritmo natural da função de verossimilhança:
log L(p mid x) = log(p^2 (1 - p)^7) = 2 log(p) + 7 log(1 - p)

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor de $ \log L(p = 0,3 \mid x) $. Substituímos $ p = 0,3 $ na expressão:
log L(p = 0,3 mid x)

Passo 8

Calculando cada termo separadamente:
2 log(0,3) = 2 times (-1,203972804) approx -2,407945609
7 log(0,7) = 7 times (-0,3566749439) approx -2,496724607

Passo 9

Somando os resultados:
-2,407945609 + (-2,496724607) = -4,904670216

Resposta

-4,90

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