Seja X uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade dada por
fX(x)=cc 2 x, & 0 <= x <= 1 0, & cc
Calcule P(X <= 12 lvert, 13 <= X <= 23)

Passo 1

Beleza, vamos lá: temos uma variável aleatória fX(x) = 2x, & 0 <= x <= 1, 0, & caso contrário com densidade
Pl(X <= tfrac12 ;|;tfrac13 <= X <= tfrac23r) á
E o que a questão pede é a probabilidade condicional
P(Amid B) = P(Acap B)P(B)
Conteúdo: probabilidade condicional e integração de densidade (PDF).
O que precisamos:
  1. A fórmula de probabilidade condicional
  1. Saber que para uma PDF contínua .

Passo 2

Aplicando a fórmula de condicional, com
Pl(X <= tfrac12 ;|;tfrac13 <= X <= tfrac23r) = Pl(tfrac13 <= X <= tfrac12r)Pl(tfrac13 <= X <= tfrac23r) e Pl(tfrac13 <= X <= tfrac12r) = integral1/3^1/2 2x,dx , temos
Pl(tfrac13 <= X <= tfrac23r) = integral1/3^2/3 2x,dx
Agora é só escrever cada probabilidade como integral:
  • Numerador
  • Denominador

Passo 3

Vamos calcular as integrais passo a passo:
  1. integral1/3^1/2 2x,dx = l[x^2r]1/3^1/2 = l(tfrac12r)^2 - l(tfrac13r)^2 = tfrac14 - tfrac19 = tfrac9-436 = tfrac536
  2. Numerador:
integral1/3^2/3 2x,dx = l[x^2r]1/3^2/3 = l(tfrac23r)^2 - l(tfrac13r)^2 = tfrac49 - tfrac19 = tfrac39 = tfrac13
  1. Denominador:
tfrac536tfrac13 = tfrac536 times 3 = tfrac512
  1. Montando a condicional:

Resposta

Pl(X <= tfrac12 ;|;tfrac13 <= X <= tfrac23r) = boxedtfrac512

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